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6.设{X(n),n?0}是具有3个状态1,2,3的齐次马尔可夫链，一步转移概率矩阵

?1/41/21/4??，初始分布为 1/21/41/4为P??????01/43/4??p1(0)?P{X(0)?1}?1/2,p2(0)?1/3,p3(0)?1/6 （1） 试求P{X(0)?1,X(2)?3}; （2） 试求P{X(2)?2}; （3） 此链是否具有遍历性？ （4） 试求其平稳分布。

河北科技大学2011——2012 学年第一学期

《应用随机过程》试卷（A′）答案

一．概念简答题（每题5分，共40分） 1.什么是随机过程，随机序列？

答：设T为[0，+?）或（-?，+?），依赖于t(t?T)的一族随机变量（或随机向量）{?t}通称为随机过程，t称为时间。当T为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。

2．随机过程{X(t)?A?(t),t?T,A?N(?,?2)}是否为正态过程，试求其有限维分布的协方差阵。

答：由于X(t)?A?(t),t?T,A?N(?,?2),?t1?t2??tn?T，对任意常数a1,?an，线性组合?aiX(ti)?(?ai?(ti))A服从一维正态分布，故(X(t1),?,X(tn))服从n

i?1i?1nn维正态分布，所以X(t)为正态过程。

又对于任意的ti,tj,X(ti)与X(tj)的协方差为

Cij?Cov(X(ti),X(tj))?E[(X(ti)?mX(ti))(X(tj)?mX(tj))]?E[(A?(ti)??(ti)?)(A?(tj)??(tj)?)]??(ti)?(tj)E(A)??(ti)?(tj)????(ti)?(tj)222

?n,X(t1),?X(tn)的协方差矩阵为C=(Cij)n?n?(?2?(ti)?(tj))n?n

3. 设X(t)为二阶矩过程，RX(t1,t2)?e?(t1?t2)，若Y(t)?X(t)?2dX(t)，试求dtRY(t1,t2)。

答：

RY(t1,t2)?E[Y(t1)Y(t2)]?E[(X(t1)??E[X(t1)X(t2)?X(t2)?[3?4(t1?t2)2]e?(t1?t2)2ddX(t1))(X(t2)?X(t2))]dt1dt2ddddX(t1)?X(t1)X(t2)?X(t1)X(t2)] dt1dt2dt1dt2 4. 设某设备的使用期限为10年，在前5年平均2.5年需要维修一次，后5年

平均2年维修一次，试求在使用期限内只维修过一次的概率。

答：因为维修次数与使用时间有关，故此过程是非齐次泊松过程，强度函数为

?(t)???1/2.50?t?5

?1/25?t?10105001011dt??dt?4.5

52.52则在使用期限内平均维修次数为m(10)???(t)dt??故在使用期限内只维修过一次的概率为P{N(10)?N(0)?1}?0.05

w2?45. 已知平稳过程X(t)的功率谱密度为SX(w)?4，试求其自相关函数

w?10w2?9RX(?)。

w2?45/83/8??答：因为SX(w)?4 222w?10w?9w?9w?11??5?3|?|3?|?|iw?S(w)edw?e?e X???2?48166．一书亭用邮寄订阅销售杂志，订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程，每

111位顾客订阅1年，2年，3年的概率分别为,,，彼此如何订阅是相互独立的，

236故有维纳—辛钦公式得RX(?)?每订阅一年，店主即获利5元，设Y(t)是[0,t)时段内，店主从订阅中所获得总收入。试求：

（1）E[Y(t)]（即[0,t)时段内总收入的平均收入）； （2）D[Y(t)]

答：设X(n)为店主从第n个订阅者处的收入，则

X(n) 5 10 15 1/2 1/3 1/6 P 且X(n)相互独立，E[X(n)]?50/6,E[X(n)]?500/6，则总收入为Y(t)??X(n)

2n?1N(t)由于Y(t)是复合泊松过程，故E[Y(t)]?50t,D[Y(t)]?500t 7. 写出卡尔曼滤波的算法公式

答：X(k|k-1)=AX(k-1|k-1)+BU(k)…(1)

P(k|k-1)=AP(k-1|k-1)A’+Q…(2)

X(k|k)=X(k|k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k|k-1))…(3) Kg(k)=P(k|k-1)H’/(HP(k|k-1)H’+R)…(4) P(k|k)=(I-Kg(k)H) P(k|k-1)…(5)

8．写出ARMA（p,q）模型的定义

答: 自回归移动平均ARMA(p,q)模型为

Xt??1Xt?1??2Xt?2????pXt?p??1?t?1??2?t?2????q?t?q，其中，p和q 是模型的自回归阶数和移动平均阶数；?,?是不为0的待定系数；?t是独立的误差项；

Xt是平稳、正态、零均值的时间序列。

二．综合题（每题10分，共60分）

?2?x?y,0?x?1,0?y?11．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=?

?0,其他试求 p{x<3y} 解：P{x<3y}=

x?3y??f(x,y)dxdy??dx?(2?x?y)dy （5分）

0x/31175343=?(x2?x?)dx? （5分） 018325412. 设到达某图书馆的读者组成一泊松流，平均每30min到达10位。假定每位读

1者借书的概率为，且与其它读者是否借书相互独立，若令{Y(t),t?0}是借书读

3者流，试求：

（1）在[0,t) (t?0)内到达图书馆的读者数N(t)的概率分布； （2）平均到达图书馆的读者人数； （3）借书读者数Y(t)的概率分布。

1答：设t的单位为分钟，则N(t)是强度为??的泊松过程，故

31(t/3)k?t/3e,k?0,1,2,? (2分) （1）N(t)??(t),P{N(t)?k}?3k!1（2）E[N(t)]?t (2分)

3（3）由泊松过程的分解定理知

11tY(t)??(?t)??()

339(t/9)k?t/9e,k?0,1,2,? （6分） 即P{Y(t)?k}?k!3. 一维对称流动随机过程Yn,Y0?0,Yn??Xk,Xk具有的概率分布为

k?1np(xk??1)?p(xk?1)?1，且X1,X2,... 是相互独立的。试求Y1与Y2的概率分布2及其联合概率分布。

解：因为Y1?X1,Y2?X1?X2,所以Y1的概率分布为：

11p{Y1?1}?p{X1?1}?,p{Y1??1}?p{X1??1}?, （2分）

22Y2的概率分布为p{Y2?2}?p{X1?1,X2?1}?

111p{X1?1}p{X2?1}???, （2分）

2241p{Y2??2}?p{X1??1,X2??1}?, （2分）

4p{Y2?0}?p{X1??1,X2?1}?p{X1?1,X2??1} ?111?? （2分） 442Y1与Y2的联合概率分布：

11p{Y1??1,Y2??2}?,p{Y1??1,Y2?2}?0,p{Y1??1,Y2?0}?,

4411p{Y1?1,Y2??2}?0,p{Y1?1,Y2?2}?,p{Y1?1,Y2?0}? （2分）

444．设随机过程X(t)?Xcos2t,t?(??,??),X是标准正态分布的随机变量。试求数学期望E(Xt)，方差D(Xt)，相关函数RX(t1,t2)，协方差CX(t1,t2)。 解：

因为X(t)?Xcos2t,t?(??,??),X~N(0,1),E(X)?0,D(X)?E(X2)?1，（2分）