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浙江大学2007-2008学年春夏学期《线性代数》期末试卷 一、 填空题（每空3分）

a11a12a22a32a13a23?aa33a11?a12xa11x?a12a21x?a22a31x?a32a13a23?a331．设a21a31，则a21?a22x（ ）。

a31?a32x2．设

?2??14阶矩阵A??1??1?121111211??1?**(A)?，则?1?2??（ ）。

3．设V是实数域?上的全体4?4反对称矩阵所构成的线性空间，即

V?{A?(aij)4?4|A??A,aij??}。

T写出V的一组基

（e12?e21,e13?e31,e14?e41,e23?e32,e24?e42,e34?e43）。V的维数是（ ）。设

?0??24阶矩阵A????3???1?20?4234021???2??2??0??，写出A在上面这组基下

的坐标（ ）。 4．设A是3阶矩阵，且A?0,A11?1,A22?2,A33??4，则A*的特征值是?1?（ ），?2?（ ），?3?（ ）。 二、 计算题。

2?255552?23?34?44?444442?23?34?44?433332?23?34?44?422221． 计算行列式D4?3?34?45?5（12分）。

2．

x1?x2?x3?0??已知齐次线性方程组?ax1?bx2?cx3?0

?a2x?b2x?c2x?0123?问(1) a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解。

(2) a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示他的全部解。 3．

已知向量组

?0??a??b????????1??1?,?2??2?,?3??11???1???1??0???????与向量组

?1??3??9????????1??2?,?2??0?,?3??6?有相同的秩，且?可以由?1,?2,?33??3??1???7???????线性表示。求a,b的值，并写出?由?1,?2,?3线性表示的一个

3表达式。 4．

设A,B都是3阶实可逆矩阵，A的特征值是

1?1?2?3,1,1，这里

?1,?2,?3是互不相同的正整数，若

?12B的特征值是-5，1，7，

?1B?(A)?6A，求?1,?2,?3，并分别写出与A,A,B相似的对角形

矩阵。 5．

已知二次型f(x,x12,x3)?3x1?3x2?4x3?4x1x2?8x1x3?4x2x3222。

（1） 写出二次型的矩阵。 （2） 用正交线性替换X?QY化二次型f(x1,x2,x3)为标准形。

（3） 求实对称矩阵B使得A?B3。 三、 证明题。

1． 设A是实对称矩阵，B是正定矩阵。求证AB的特征值全

是实数。

2． 设

A是

m?n(1)矩阵，B是

,X(2)m?t矩阵，r(B)=t。令

?0的一个基础

C?(A,B)m?(n?t),X,?,X(r)为齐次线性方程组CX0解系，设X线性无关。

(i)?X0(i)???(i)?，这里X?X??1?(i)0为X(i)的前n个元素。求证X(1),X(2)0,?,X(r)0