内容发布更新时间 : 2024/12/22 15:01:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

复变函数复习提纲

(一)复数的概念

1.复数的概念：z?x?iy，x,y是实数, x?Re?z?,y?Im?z?.i??1.

2 注：两个复数不能比较大小. 2.复数的表示 1）模：z?x2?y2；

2）幅角：在z?0时，矢量与x轴正向的夹角，记为Arg?z?（多值函数）；主值arg?z?是位于(??,?] 中的幅角。

y之间的关系如下： xy 当x?0, argz?arctan；

x3）arg?z?与arctan?y?0,argz?arctan?? 当x?0,??y?0,argz?arctan??y??x； y??x4）三角表示：z?z?cos??isin??，其中??argz；注：中间一定是“+”号。

i?5）指数表示：z?ze，其中??argz。

(二) 复数的运算

1.加减法：若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则z1?z2??x1?x2??i?y1?y2? 2.乘除法：

1）若z1?x1?iy1,z2?x2?iy2，则

z1z2??x1x2?y1y2??i?x2y1?x1y2?；

x1?iy?i?y?z1x1?iyx?xyy1??x221 ???12221?2iz2x2?iyx?iy?xiy?xy????22222222）若z1?z1e1,z2?z2ei?i?2?yy1x22x。 122?2x2y, 则

z1z2?z1z2ei??1??2?； z1i??1??2?z1 ?ez2z23.乘幂与方根

nin?i?1） 若z?z(cos??isin?)?ze，则z?z(cosn??isinn?)?ze。

nn 1

2） 若z?z(cos??isin?)?zei?，则

n??2k???2k???z?z?cos?isin?nn??1n(k?0,1,2?n?1)（有n个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：w?f?z?，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.

2．复初等函数

1）指数函数：ez?ex?cosy?isiny?，在z平面处处可导，处处解析；且ez注：e是以2?i为周期的周期函数。（注意与实函数不同）

3） 对数函数： Lnz?lnz?i(argz?2k?)(k?0,?1,?2?)（多值函数）；

主值：lnz?lnz?iargz。（单值函数）

z????ez。

1Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且?lnz???；

z注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3）乘幂与幂函数：ab?ebLna(a?0)；zb?ebLnz(z?0)

b?1注：在除去原点及负实轴的z平面内处处解析，且zb????bz。

eiz?e?izeiz?e?izsinzcosz,cosz?,tgz?,ctgz?4）三角函数：sinz? 2i2coszsinzsinz,cosz在z平面内解析，且?sinz???cosz,?cosz????sinz

注：有界性sinz?1,cosz?1不再成立；（与实函数不同）

ez?e?zez?e?z,chz?4） 双曲函数 shz?； 22shz奇函数，chz是偶函数。shz,chz在z平面内解析，且?shz???chz,?chz???shz。

（四）解析函数的概念

1．复变函数的导数 1）点可导：f??z0?=lim?z?0f?z0??z??f?z0?；

?z2）区域可导： f?z?在区域内点点可导。 2．解析函数的概念

2

1）点解析： f?z?在z0及其z0的邻域内可导，称f?z?在z0点解析； 2）区域解析： f?z?在区域内每一点解析，称f?z?在区域内解析； 3）若f(z)在z0点不解析，称z0为f?z?的奇点；

3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数；

（五）函数可导与解析的充要条件

1．函数可导的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在z?x?iy可导

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?可微，且在?x,y? 处满足C?D条件：

此时， 有f??z???u?v?,?x?y?u?v?? ?y?x?u?v?i。 ?x?x2．函数解析的充要条件：f?z??u?x,y??iv?x,y?在区域内解析

?u?x,y?和v?x,y?在?x,y?在D内可微，且满足C?D条件：

此时f??z???u?v?,?x?y?u?v??； ?y?x?u?v?i。 ?x?x注： 若u?x,y?,v?x,y?在区域D具有一阶连续偏导数，则u?x,y?,v?x,y?在区域D内是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明u,v具有一阶连续偏导且满足C?R条件时，函数

f(z)?u?iv一定是可导或解析的。

3．函数可导与解析的判别方法

1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）

2）利用充要条件 （函数以f?z??u?x,y??iv?x,y?形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数f?z?是以z的形式给出，如第二章习题3）

（六）复变函数积分的概念与性质

1． 复变函数积分的概念：

?f?z?dz?lim?f????zcn??kk?1nk，c是光滑曲线。

注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1）

?cf?z?dz????1f?z?dz （c?1与c的方向相反）；

c2） [?f?z???g?z?]dz???c?f?z?dz???g?z?dz,?,?是常数；

cc 3