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全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

形如AD?xAB?yAC条件的应用

一、基础知识：

1、平面向量基本定理：若平面上两个向量e1,e2不共线，则对平面上的任一向量a，均存在唯一确定的??1,?2?，（其中?1,?2?R），使得a??1e1??2e2。其中e1,e2称为平面向量的一组基底。

（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量

??1??1（2）唯一性：若a??1e1??2e2且a??1e1??2e2，则?

??2??22、“爪”字型图及性质：

（1）已知AB,AC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必存在x,y，使得AD?xAB?yAC。则B,C,D三点共线

BDCA?x?y?1

当0?x?y?1，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间 当x?y?1，则D与A位于BC两侧

x?y?1时，当x?0,y?0，则D在线段BC上；当xy?0，则D在线段BC延长线

上

（2）已知D在线段BC上，且BD:CD?m:n，则AD?3、AD?xAB?yAC中x,y确定方法

（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定x,y

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD?xAB?yAC，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于x,y的方程，再进行求解 （3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于x,y的方程，再进行求解

nmAB?AC m?nm?n

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二、典型例题：

例1：在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB,AC于点M,N，若AM?xAB,AN?yAC，则x?4y的最小值是（ ） A.

9 B. 2 C. 3 D. 1 4思路：若要求出x?4y的最值，则需从条件中得到x,y的关系。由M,H,N共线可想到“爪”字型图，所以

AH?mAM?nAN，其中m?n?1，下面考虑将m,n的关

系转为x,y的关系。利用条件中的向量关系：AH?且AD?1AD211AB?AC，所以AH?AB?AC，因为AM?xAB,AN?yAC，所以24????1?1?m?mx???4x??4AH?mxAB?nyAC，由平面向量基本定理可得：?，所以??1?ny?1?n???4y?4?m?n?1??1111?1?4yx???1，所以x?4y??x?4y????1?4???，而??4x4y4x4y4xy????4yx4yx9??2??4，所以x?4y?

4xyxy答案：A

12例2：如图，在ABC中，AN?NC，P是BN上的一点，若AP?mAB?AC，

311则实数m的值为（ ） A.

9532 B. C. D. 11111111思路：观察到B,P,N三点共线，利用“爪”字型图，可得

AP?mAB?nAN，且m?n?1，由AN?13N可C得

2AC可得：1111A，C所以AP?mA?B441283n??n?，所以m? 4111111AN?答案：C

n，AC由已知AP?mAB?全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）

例3：在平面内，已知OA?1,OB?3,OA?OB?0,?AOC?30，设

OC?mOA?nOB,?m,n?R?，则

m等于（ ） n31A. ?3 B. ?3 C. ? D. ?

33思路：所求为

m，可以考虑对OC?mOA?nOB,?m,n?R?两边同时对同一向量作n数量积，从而得到m,n的方程，解出m,n，例如两边同对OA作数量积，可得：

OC?OA?mOA?nOB?OA，因为

2OA?1，OA?OB?0，所以有

m?OC?OAcosAOCOA2?3OC，同理，两边对OB作数量积，可得：2OC?OB2OC?OB?mOA?OB?nOB2，即n?O?Bc3oOsC，BO所以

Cm311，通过作图可得?BOC?60或?BOC?120，从而cosBOC??，??n2cosBOC2m代入可得：??3

n答案：B

小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量

（2）本题也可通过OA?OB?0判定OA?OB，从而想到建立坐标系通过坐标解出

m,n，进而求出

m??3 nEF例4：如图，在正六边形ABCDEF中，点P是CDE内（包括边界）的一个动点，设AP??AB??AF??,??R?，则

D???的取值范围是（ ）

A. ?1,2? B. ?2,3? C. ?2,4? D. ?3,4?

CAB思路：因为P为动点，所以不容易利用数量积来得到?,?的