内容发布更新时间 : 2024/11/8 14:52:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

为了认识孪生素数猜想， 让我们先做一些简单铺垫。先谈谈素数。

素数是数学中美妙的音乐，美丽的女神，有着很多让人捉摸不透的秘密。传说大数学家欧拉说过：“一直以来，数学家总是在孜孜不倦地寻找素数规律，但是很难成功。我们可以把素数看作人类思维无法渗透的奥秘。”

远在中古时代，就产生了自然数的概念，印度人对数学最大的贡献之一就是引进了符号“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”来计数。正是由于有了数的合理记法，对于数的研究才能够代代相传。尤其是近百年来，人们创立了一个漂亮的数学分支：数论。比零大的正整数统称为自然数；它共有三类。：即1（民间常说的大佬，无人敢与其争锋）；素数（素数也叫质数，只能被1和其自身整除的数，比如5，7，11， 19等），合数（可以被1和自身以外的某个自然数整除的数，如9，16， 20）。

欧几里得用漂亮的反证法证明了素数的个数有无穷多个。记得我在80年代初选修丁石孙的初等数论课时，被他完美的讲课风格和欧几里得伟大的证明所折服，在当时的老二教的上课时光现在还历历在目。

素数在自然数中的分布很奇妙；从公元前三世纪开始至今，吸引了众多数学家的不懈努力。公元前三世纪古希腊数学家、哲学家埃拉托色尼（Eratosthenes，公元前275一前193）为了研究这个问题，提出了一个叫“过筛”的方法(the Sieve

of Eratosthenes)简称埃氏筛法，造出了世界上第一张素数表，就是按照素数大小排成的表。比方说把一张超大的纸放在沙滩上，然后把自然数按其大小一个一个写上去；然后按下列法则把合数挖掉：

（1）先把1删除（因为1不是质数）

（2）把2留下（最小的偶数质数），然后把2的倍数删去

（3）把3留下，然后把3的倍数删去

（4）把5留下，然后把5的倍数删去

（5）同理继续进行下去，直到把所有数要么留下，要么删除

这样如果纸上最大的数是N，则上述方法可以产生N以内素数的分布表。

从这个古典的方法中人们可以观察到，素数的分布随着N的变大，变得越稀疏。比如1到10之间有2，3，5，7 四个素数；100之内有25个素数，1000之内有168个素数，100万之内有78498个素数。 大量数值试验显示， 当N变

得很大时，在1到N之间素数的个数和N的比值变得很小。那么严格的数学刻画是什么呢？

用表示不大于自然数N的素数的个数，如

，（。法

国大数学家勒让德（Legendre,1752-1833) 于1808年建议当时：

非常大

其中被称为勒让德常数。可惜

这个公式在相应的级数展开式中仅第一项正确。1792年，当数学王子高斯刚满

15岁时，就猜测当非常大时，和

差不多大；更确切地说，当充分大时，

和

来说就是

之比接近于1。用极限的语言

这个猜想被叫做素数定理。1850年，俄罗斯数学先驱切比雪夫证明：存在两个

正数和，使不等式

成立，其中。这为证明高斯的素数定理迈进了一大步；并且切比雪夫在证明中用到了微积分。

革命性的变化发生在1859年。 1859年8月，时年32岁的数学家黎曼(G. F. B. Riemann) 向柏林科学院提交了一篇8页纸的论文，题为“论不超过一个给定

值的素数的个数”。在这篇论文的中，他把素数点数和所谓的函数建立了联

系，这一联系推动了解析数论的发展；文章中提出的黎曼猜想给数学家们带来了比素数分布更大的挑战。时至今日，在经历了150多年的认真研究和极力探索后，这个仍然悬而未决。关于黎曼猜想的最权威的科普文章，可以见科普高手卢昌海的《黎曼猜想漫谈》。