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课时跟踪检测（二十六） 平面向量的数量积与平面向量应用举例
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．(2018·洛阳第一次统一考试)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为2π
，且(a＋λb)⊥(2a－b)，则实数λ的值为( ) 3
A．－7 C．2
B．－3 D．3
2π
解析：选D 依题意得a·b＝2×1×cos＝－1，由(a＋λb)·(2a－b)＝0，得2a2－λb2＋
3(2λ－1)a·b＝0，即－3λ＋9＝0，解得λ＝3.
π
2．已知平面向量a，b的夹角为，且a·(a－b)＝2，|a|＝2，则|b|等于( )
3A.2 C．4
B．23 D．2
解析：选D 因为a·(a－b)＝2，所以a2－a·b＝2，即|a|2－|a||b|cosa，b＝2，所以41
－2|b|×＝2，解得|b|＝2.
2
3．已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,1)，c＝(x,4)，若(a－b)⊥c，则c·(a＋b)＝( ) A．(2,12) C．14
B．(－2,12) D．10
解析：选C 由题意可得，a－b＝(－4,1)，由(a－b)⊥c，得(－4)×x＋1×4＝0，即－
4x＋4＝0，解得x＝1，所以c＝(1,4)．又a＋b＝(2,3)，所以c·(a＋b)＝1×2＋4×3＝14.
4．(2018·湘中名校联考)平面向量a与b的夹角为45°，a＝(1,1)，|b|＝2，则|3a＋b|等于( )
A．13＋62
B．25
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C.30 D.34
解析：选D 依题意得|a|＝2，a·b＝2×2×cos 45°＝2，∴|3a＋b|＝?3a＋b?2＝9a2＋6a·b＋b2＝18＋12＋4＝34.
π3
5．若单位向量e1，e2的夹角为，向量a＝e1＋λe2(λ∈R)，且|a|＝，则λ＝( )
321
A．－
21C. 2
B.D.3－1 23 2
113
解析：选A 由题意可得e1·e2＝，|a|2＝(e1＋λe2)2＝1＋2λ×＋λ2＝，化简得λ2＋λ＋
22411
＝0，解得λ＝－. 42
―→
6．(2018·西安八校联考)已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量CD在―→
BA方向上的投影是( )
A．－35 C．35
B．－
32
2
32D.
2
―→―→―→―→
解析：选A 依题意得，BA＝(－2，－1)，CD＝(5,5)，BA·CD＝(－2，－1)·(5,5)―→―→
BA·CD－15―→―→―→
＝－15，|BA|＝5，因此向量CD在BA方向上的投影是―→＝5＝－35.
|BA|
7．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b的夹角的正弦值为________．
解析：∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，1
b〉＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，
2
∴sin〈a，b〉＝1－cos2〈a，b〉＝
3 2
3. 2
答案：
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8．(2018·张掖一诊)已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a⊥(a－2b)，则|a＋b|＝________.
解析：∵a⊥(a－2b)，∴a·(a－2b)＝0，解得2a·b＝1，
∴|a＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝3. 答案：3
9．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则向量m，n的夹角的余弦值为________．
解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)， 所以由(m＋n)⊥(m－n)，得(m＋n)·(m－n)＝0， 即(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3， 则m＝(－2,1)，n＝(－1,2)， m·n4所以cos〈m，n〉＝＝.
|m||n|54
答案：
5
―→―→
10.如图所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，AB＝4AC，则―→―→―→OC·(OB－OA)＝________.
2―→―→
解析：由已知得|AB|＝2，|AC|＝，
4
3π2―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→
则OC·(OB－OA)＝(OA＋AC)·AB＝OA·AB＋AC·AB＝2cos＋×2＝－
441
. 2
1
答案：－ 2
B级——中档题目练通抓牢
―→―→―→―→
1．(2018·惠州三调)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－―→
2OA)＝0，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 C．正三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
―→―→―→―→―→
解析：选A 由(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0， ―→―→―→―→―→―→得CB·(AB＋AC)＝0，∵AB－AC＝CB，