内容发布更新时间 : 2024/11/13 14:26:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
1．若命题A(n)(n∈N)在n＝k(k∈N)时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命
*
题对n＝n0(n0∈N)时命题成立，则有( )
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立 D．以上说法都不正确
*
解析：选C.由已知得n＝n0(n0∈N)时命题成立，则有n＝n0＋1时命题成立；在n＝n0
＋1时命题成立的前提下，又可推得n＝(n0＋1)＋1时命题也成立，依此类推，可知选C.
1
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于( )
2
A．1 B．2 C．3 D．0
解析：选C.因为是证凸n边形，所以应先验证三角形．故选C.
11111
3．用数学归纳法证明2＋2＋…＋. 2>－
23n＋2n＋2
假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
1111111
解析：观察不等式中的分母变化知，2＋2＋…＋2＋. 2＋2>－23kk＋k＋2k＋3
1111111
答案：2＋2＋…＋2＋ 2＋2>－
23kk＋k＋2k＋34．用数学归纳法证明：
nn＋2222n－12n－1
1－2＋3－4＋…＋(－1)·n＝(－1)·. 21×21－1
证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝(－1)×＝1，结论成立．
2
(2)假设当n＝k时，结论成立．
kk＋2222k－12k－1
即1－2＋3－4＋…＋(－1)k＝(－1)·，
2
那么当n＝k＋1时， 2222k－12k21－2＋3－4＋…＋(－1)k＋(－1)(k＋1)
kk＋k－1k2
＝(－1)·＋(－1)(k＋1)
2
－k＋2k＋2k＝(－1)·(k＋1)
2
k＋k＋k＝(－1)·. 2
即n＝k＋1时结论也成立．
由(1)(2)可知，对一切正整数n都有此结论成立．
*
*
一、选择题
111*
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n
232－1
( )
111A．1＋<2 B．1＋＋<2 223
11111C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
23234
*
解析：选B.∵n>1且n∈N，∴n取的第一个值n0＝2，故选B.
5672011
2．(2011年高考江西卷)观察下列各式：5＝3125,5＝15625,5＝78125，…，则5的末四位数字为( )
A．3125 B．5625 C．0625 D．8125
567
解析：选D.∵5＝3125,5＝15625,5＝78125， 89
5末四位数字为0625,5末四位数字为3125， 1011
5末四位数字为5625,5末四位数字为8125， 12
5末四位数字为0625，…，
由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， 20114×501＋7∴5＝5末四位数字为8125.
11111
3．在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1等于( )
2342n－12n111
A．ak＋ B．ak＋－ 2k＋12k＋22k＋4111
C．ak＋ D．ak＋－ 2k＋22k＋12k＋2
1111
解析：选D.a1＝1－，a2＝1－＋－，…，
2234
11111
an＝1－＋－＋…＋－，
2342n－12n11111
ak＝1－＋－＋…＋－，
2342k－12k11
所以ak＋1＝ak＋－.
2k＋12k＋2
1111*
4．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N，且n≥2)时，第二步由k到
nn＋1n＋22nk＋1时不等式左端的变化是( )
1
A．增加了这一项
2k＋111
B．增加了和两项
2k＋12k＋2111
C．增加了和两项，同时减少了这一项
2k＋12k＋2kD．以上都不对
解析：选C.不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差
1111111
数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋kk＋1k＋22kk＋1k＋2k＋3
111
＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．
2k2k＋12k＋2
nn5．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x＋y能被x＋y整除”的第二步是( ) A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确 B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确 C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
*
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N)
解析：选B.因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
6．k(k≥3，k∈N*)棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱的对角面个数f(k＋1)为( )
A．f(k)＋k－1 B．f(k)＋k＋1 C．f(k)＋k D．f(k)＋k－2
解析：选A.三棱柱有0个对角面，四棱柱有2个对角面[0＋2＝0＋(3－1)]；五棱柱有5个对角面[2＋3＝2＋(4－1)]；六棱柱有9个对角面[5＋4＝5＋(5－1)]；….
猜想：若k棱柱有f(k)个对角面，则(k＋1)棱柱有f(k)＋k－1个对角面． 二、填空题
2*
7．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n＋n＋1(n∈N)的过程中的错误：________________.
*2
证明：假设当n＝k(k∈N)时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k＋k＋1，那么2＋4＋…＋
22
2k＋2(k＋1)＝k＋k＋1＋2(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因
*
此对于任何n∈N等式都成立．
答案：缺少步骤归纳奠基，实际上当n＝1时等式不成立
an＋bna＋bn*
8．用数学归纳法证明≥()(a，b是非负实数，n∈N)时，假设n＝k命题成
22
立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________．
a＋ba＋bk＋1k＋1k＋1
解析：要想办法出现a＋b，两边同乘以，右边也出现了要证的().
22
a＋b答案：两边同乘以
2
9．平面上原有k个圆，它们相交所成的圆弧共有f(k)段，若增加第k＋1个圆与前k个圆均有两个交点，且不过前k个圆的交点，试问前k个圆的圆弧增加________段．
解析：增加的第k＋1个圆与前k个圆中的每一个均有两个交点，这两个交点中的每个点都将原来的一段圆弧分为两段，因此每个圆都要增加两段圆弧．
∴k个圆共增加的圆弧段数为2k段． 答案：2k 三、解答题
10．用数学归纳法证明：
1111n＋1*
当n≥2，n∈N时，(1－)(1－)(1－)…(1－2)＝.
4916n2n132＋13
证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴n＝2时等式成立．
442×24*
(2)假设当n＝k(n≥2，n∈N)时等式成立，
1111k＋1即(1－)(1－)(1－)…(1－2)＝，
4916k2k那么当n＝k＋1时，
11111(1－)(1－)(1－)…(1－2)[1－]
4916kk＋2k＋11＝·[1－] 2kk＋2k＋2－1k＋2＝＝ 2kk＋k＋k＋＋1＝. k＋
∴当n＝k＋1时，等式也成立．
*
根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N，等式都成立．
1115*
11．求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N)．
n＋1n＋23n6
11115
证明：(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋>，不等式成立．
34566*
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N)时命题成立，