内容发布更新时间 : 2024/12/26 22:33:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第三章 微分中值定理与导数的应用

【考试要求】

1．掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义． 2．熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“?/?”、“0??”、“???“?”型未定式极限的方法．

3．掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式．

4．理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最值（最大值和最小值）的方法，并且会解简单的应用问题．

5．会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点． 6．会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线．

0”、“1”、“0”和

?0【考试内容】

一、微分中值定理

1．罗尔定理

如果函数y?f(x)满足下述的三个条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即那么在(a,b)内至少有一点?（af(a)?f(b)，

???b），使得f?(?)?0．

说明：通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点），即若称点x0为函数

f?(x0)?0，则

f(x)的驻点．

2．拉格朗日中值定理

如果函数y?f(x)满足下述的两个条件：

（1）在闭区间[a,b]上连续； （2）在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点?（a???b），使得下式（拉格朗日中值公式）成立：

f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)．

说明：当

f(b)?f(a)时，上式的左端为零，右端式(b?a)不为零，则只能f?(?)?0，

这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形．此外，由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位，因此有时也称这定理为微分中值定理．

3．两个重要推论

（1）如果函数

f(x)在区间I上的导数恒为零，那么f(x)在区间I上是一个常数．

，应用拉格朗日中?x2，x1?x2同样可证）

证：在区间I上任取两点x1、x2（假定x1值公式可得 由假定，

． f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1) （x1???x2）

f?(?)?0，所以 f(x2)?f(x1)?0，即 f(x2)?f(x1)．

f(x)在区间I上的函数值总是相等的，即

因为x1、x2是I上任意两点，所以上式表明

f(x)在区间I上是一个常数．

（2）如果函数

f(x)与g(x)在区间(a,b)内的导数恒有f?(x)?g?(x)，则这两个函

f(x)?g(x)?C（C为常数）．

??f(x)?g?(x)?0?，故

，．

数在(a,b)内至多相差一个常数，即证：设F(x)[f(x)?g(x)]?f(x)?g(x)，则F?(x)??C，x)?g(x)C?即f(根据上面的推论（1）可得，F(x)f(x)?g(x)C?二、洛必达法则

1．x?a时“

0”型未定式的洛必达法则 0如果函数

f(x)及F(x)满足下述的三个条件：

f(x)及F(x)都趋于零；

f?(x)及F?(x)都存在且F?(x)?0；

（1）当x?a时，函数

（2）在点a的某个去心邻域内（3）limx?af?(x)存在（或为无穷大），

F?(x)f(x)f?(x)那么 lim． ?limx?aF(x)x?aF?(x)f?(x)f(x)f?(x)说明：这就是说，当lim存在时，lim也存在且等于lim；当

x?aF?(x)x?aF(x)x?aF?(x)f?(x)f(x)lim为无穷大时，lim也是无穷大． x?aF?(x)x?aF(x)2．x??时“

如果函数

0”型未定式的洛必达法则 0f(x)及F(x)满足下述的三个条件：

f(x)及F(x)都趋于零；

（1）当x??时，函数（2）当

x?X时f?(x)及F?(x)都存在且F?(x)?0；

f?(x)（3）lim存在（或为无穷大），

x??F?(x)f(x)f?(x)?lim那么 lim．

x??F(x)x??F?(x)?说明：我们指出，对于x?a或x??时的未定式“”，也有相应的洛必达法则．

?0?3．使用洛必达法则求“”型或“”型极限时的注意事项

0?（1）使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“

0?”型或“”型，如果不是则不0?