内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:53:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
专题2.7 对数与对数函数
1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;
1
2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,的对数函2数的图象;
3.体会对数函数是一类重要的函数模型;
4.了解指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数.
知识点一 对数的概念
如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
知识点二 对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1). (2)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; M
②loga=logaM-logaN;
N③logaMn=nlogaM(n∈R);
n
④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0).
m
logaN
(3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1).
logab知识点三 对数函数及其性质
(1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象与性质
a>1 0 图象 定义域:(0,+∞) 值域:R 当x=1时,y=0,即过定点(1,0) 性质 当x>1时,y>0; 当0 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. 【特别提醒】 1.换底公式的两个重要结论 1n (1)logab=;(2)logambn=logab. logbam其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R. 2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大. 1?3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),??a,-1?,函数图象只在第一、四象限. 考点一 对数的运算 1- lg-lg 25?÷【典例1】 (2019·广东中山一中模拟)计算:?1002=________. ?4? 1 当x>1时,y<0; 当0 1?-2 22×【解析】原式=(lg 2-lg 5)×1002=lg?10=lg 10×10=-2×10=-20. ?2×5?-2 2 1 【方法技巧】 1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的 积、商、幂再运算. 3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化. 5 【变式1】(2019·河南新乡一中模拟)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=________,b 2=________. 【答案】4 2 15 【解析】设logb a=t,则t>1,因为t+=, t2所以t=2,则a=b2. 又ab=ba,所以b2b=bb, 即2b=b2,又a>b>1,解得b=2,a=4. 考点二 对数函数图象及其应用 1 【典例2】(2019·广西桂林十八中模拟) 当0<x≤时,4x<logax,则a的取值范围是( ) 2A.?0, 2 ? 2?2 B.?,1? 2??2? D.(2,2) C.(1,2) 【答案】B 1 【解析】易知0<a<1,函数y=4x与y=logax的大致图象如图,则由题意可知只需满足loga>42, 2解得a> 22 ,∴<a<1,故选B. 22 1 【方法技巧】 (1)识别对数函数图象时,要注意底数a以1为分界:当a>1时,是增函数;当0<a<1时,是减函数.注意对数函数图象恒过定点(1,0),且以y轴为渐近线. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【变式2】 (2019·四川棠湖中学模拟)设方程10x=|lg(-x)|的两个根分别为x1,x2,则( ) A.x1x2<0 C.x1x2>1 B.x1x2=0 D.0<x1x2<1 【答案】D 【解析】作出y=10x与y=|lg(-x)|的大致图象,如图. 显然x1<0,x2<0. 不妨令x1<x2,则x1<-1<x2<0, 所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2), 此时10x1<10x2, 即lg(-x1)<-lg(-x2), 由此得lg(x1x2)<0, 所以0<x1x2<1,故选D. 考点三 比较对数值的大小 【典例3】【2019年高考天津理数】已知a?log52,b?log0.50.2,c?0.50.2,则a,b,c的大小关系为( ) A.a?c?b C.b?c?a 【答案】A 【解析】因为a?log52?log55? B.a?b?c D.c?a?b 1, 2b?log0.50.2?log0.50.25?2, 0.5?c?0.510.2?0.5,即 01?c?1, 2所以a?c?b. 故选A. 【方法技巧】 (1)若对数值同底数,利用对数函数的单调性比较 (2)若对数值同真数,利用图象法或转化为同底数进行比较 (3)若底数、真数均不同,引入中间量进行比较 a?log20.2,b?20.2,c?0.20.3,则( ) 【变式3】【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知