内容发布更新时间 : 2024/12/24 2:20:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.2 立体几何中的向量方法 3.2.4 利用向量知识求空间角

（名师：蒋力）

一、教学目标 （一）核心素养

通过这节课学习，掌握利用空间向量求空间角的方法． （二）学习目标

1.利用直线方向向量求空间中的异面直线所成的角； 2.利用直线方向向量和平面的法向量求空间中的线面角； 3.利用平面的法向量求出二面角． （三）学习重点

1.利用直线方向向量求空间中的异面直线所成的角 2.利用直线方向向量和平面的法向量求空间中的线面角 3.利用平面的法向量求出二面角 （四）学习难点

1．对向量法求空间角的理解． 2．对各种证明方法的熟练掌握． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 （1）填空：

1．两条异面直线的夹角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，在直线a上任取一点作直线a′∥b，则a′与a的夹角叫做a与b的夹角．

(2)范围：两异面直线夹角θ的取值范围是(0,]．

2

(3)向量求法：设直线a，b的方向向量为a和b，其夹角为φ，则有cos θ＝|cos φ|＝

?abab

2．直线与平面的夹角

(1)定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角．

?(2)范围：直线和平面夹角θ的取值范围是 [0,]．

2(3)向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，a与n的夹角为φ，则有sin θ＝|cos φ|或cos θ＝sin φ. 3．二面角

(1)二面角的取值范围是[0,?]． (2)二面角的向量求法：

①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是→与CD→的夹角(如图①)． 向量AB

②设n1,n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与,n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 2．预习自测

1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案：C

解析：【知识点】利用法向量求二面角 【解题过程】cos?m,n??mnmn?2 2点拨：利用向量的夹角公式求二面角的平面角，注意此时求出的是二面角的余弦值的绝对值. 2．若直线l1，l2的方向向量分别为a??2,4,?4?,b???6,9,6?则( )

A．l1∥l2 B．l1⊥l2

C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确 答案：B

解析：【知识点】利用法向量求二面角 【解题过程】cos?m,n??mnmn?0

点拨：二面角为90°时即是两平面垂直

3．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于( A．120° B．60° C．30° D．以上均错 答案：C

解析：【知识点】利用向量法求直线和平面所成的角

【解题过程】利用向量法求直线和平面所成角的定义,如图所示

点拨：注意平面的法向量和直线的方向向量的方向，线面角只能是锐角. (二)课堂设计 1．知识回顾

（1）两向量数量积的定义：a?b?|a||b|cos?a,b? （2）两向量夹角公式：cos?a,b??a?b|a||b| （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 2．问题探究

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