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2019年山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1．（5分）复数z＝A．第一象限

在复平面内对应的点位于（ ） B．第二象限

x

C．第三象限 D．第四象限

2．（5分）设集合A＝{x|x≥3}，B＝{y|y＝2，x≤3}，则集合（?RA）∩B＝（ ） A．{x|x＜3} 3．（5分）已知双曲线A．4

B．16 B．{x|x≤3}

C．{x|0＜x＜3}

D．{x|0＜x≤3}

的渐近线方程为

C．﹣4

，则实数m＝（ ）

D．﹣16

4．（5分）2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p使得p+2是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数．从10以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ） A．

B． C．

D．

5．（5分）在平面直角坐标系中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称．若sinα＝，则cos（α﹣β）＝（ ） A．﹣1

B．﹣

C．

D．1

是|﹣|＞1的（ ）

6．（5分）已知，均为单位向量，其夹角为θ，则A．必要不充分条件 C．充分必要条件

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．（5分）一个四棱锥与半圆柱构成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

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A．16+8π

B．16+12π

C．48+12π

D．48+8π

8．（5分）己知函数y＝f（x）的定义域为R，f（x+1）为偶函数，且对?x1＜x2≤1，满足

，若f（3）＝1，则不等式f（log2x）＜1的解集为（ ）

A．（，8）

C．（0，）∪（8，+∞） 9．（5分）将函数

B．（1，8）

D．（﹣∞，1）∪（8，+∞）

的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，再将图象

上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若对任意的x∈R均有A．

成立，则m的最小值为（ ） B．2 C． D．

2

2

10．（5分）已知过抛物线C：y＝4x焦点的直线交抛物线C于P、Q两点，交圆x+y﹣2x＝0于M，N两点，其中P，M位于第一象限．则A．3

B．4

x

的值不可能为（ ） D．6

2

C．5

11．（5分）记函数f（x）＝e﹣x﹣a，若曲线y＝﹣cosx+2cosx+1上存在点（x0，y0）使得f（y0）＝y0，则a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，e﹣4） C．[2﹣2ln2，e+4]

﹣2

2

B．[2﹣2ln2，e﹣4] D．（﹣∞，e+4）

＝3

，过E作该四面

﹣2

2

12．（5分）在棱长为l的正四面体A﹣BCD中，E是BD上一点，体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为（ ） A．

B．

C．

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D．

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）己知随机变量ξ～N（3，σ），且P（ξ＜1）＝0.1，则P（3＜ξ＜5）＝ 14．（5分）设

，则

展开式中x的系数为 ．

2

2

15．（5分）若满足约束条件则的最大值为 ．

16．（5分）在△ABC中，角A的平分线交BC于点D，BD＝2CD＝2，则△ABC面积最大值为

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分. 17．（12分）已知数列{an}前n项和Sn满足a3＝b4﹣2b1，b6＝a4．

（1）求{an}和{bn}的通项公式： （2）求数列

的前2n项和T2n?

所在平面相交于BD，AB＝BD

．

是等差数列，且18．（12分）如图，直角三角形ABD所在的平面与半圆弧＝2，E，F分别为AD，BD的中点C是BD上异于B，D的点，EC＝（1）证明：平面CEF⊥平面BCD （2）若点C为半圆弧上的一个三等分点（靠近点D），求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．

19．（12分）混凝土具有原材料丰富、抗压强度高、耐久性好等特点，是目前使用量最大的土木建筑材料．抗压强度是混凝土质量控制的重要技术参数，也是实际工程对混凝土要求的基本指标．为了解某型号某批次混凝土的抗压强度（单位：MPa）随龄期（单位：天）的发展规律，质检部门在标准试验条件下记录了10组混凝土试件在龄期xi（i＝1，2，…，10）分别为2，3，4，5，7，9，12，14，l7，21时的抗压强度yi的值，并对数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

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（xi2）（wi2）（xi（yi）（wi（yi55 ） ） ） 9.4 29.7 2 wi．

366 5.5 439.2 表中wi＝lnxi，＝

（1）根据散点图判断y＝a+bx≡y＝c+dlnx哪一个适宜作为抗压强度y关于龄期x的回归方程类型？选择其中的一个模型，并根据表中数据，建立y关于x的回归方程； （2）工程中常把龄期为28天的混凝土试件的抗压强度f28视作混凝十抗压强度标准值．已知该型号混凝土设置的最低抗压强度标准值为40MPa． （i）试预测该批次混凝土是否达标？，

（ii）由于抗压强度标准值需要较长时间才能评定，早期预测在工程质量控制中具有重要的意义．经验表明，该型号混凝土第7天的抗压强度f7与第28天的抗压强度f28具有线性相关关系f28＝1.2f7+7，试估计在早期质量控制中，龄期为7天的试件需达到的抗压强度，

附：＝，＝．参考数据：ln2≈0.69，ln7≈1.95．

20．（12分）己知椭圆

的离心率为

，原点到椭圆的上顶点与

右顶点连线的距离为．

（1）求椭圆Γ的标准方程：

（2）斜率存在且不为零的直线l与椭圆相交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线的纵截距为﹣1．求直线l纵截距的取值范围．

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2

21．（12分）已知f（x）＝x（alnx﹣x+x），且f（x）≤0． （1）求a的值：

（2）证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且

（参考数据：ln2≈0.69）

（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线，的参数方程为线C的参数方程为立极坐标系．

（1）求直线l和曲线C的极坐标方程； （2）设

，M，N为直线l与曲线C的两个交点，求|OM|+|ON|的最大值．

（t为参数），曲

（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知函数f（x）＝|3x﹣1|+|3x+k|，g（x）＝x﹣4x﹣1． （1）当k＝﹣3时，求不等式f（x）≥4的解集： （2）若存在

使得f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围．

2

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