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2002级量子力学期末考试试题和答案

B卷

一、（共25分）

1、厄密算符地本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样地状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）

3、全同玻色子地波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成地全同粒子体系地波函数.（4分）

?和坐标x地共同本征函数.（6分） 4、在一维情况下，求宇称算符P5、简述测不准关系地主要内容，并写出时间t和能量E地测不准关系.（5分）

???B??0，求 ??B?A?2?B?2?1，且A二、（15分）已知厄密算符A,B，满足A?、B?地矩阵表示； 1、在A表象中算符A?地本征值和本征函数； 2、在A表象中算符B3、从A表象到B表象地幺正变换矩阵S. 三、（15分）线性谐振子在t?0时处于状态

?(x,0)????12122????xexp(??x)????2??33??，求 ，其中

1、在t?0时体系能量地取值几率和平均值.2、t?0时体系波函数和体系能量地

取值几率及平均值

四、（15分）当?为一小量时，利用微扰论求矩阵

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?1??2??0???2??3??3?3?2???地本征值至?地二次项，本征矢至?地一次项.

2?0五、（10分）一体系由三个全同地玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能地单粒子态. 问体系可能地状态有几个? 它们地波函数怎样用单粒子波函数构成?b5E2RGbCAP

一、1、厄密算符地本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备地.

2、在无穷远处为零地状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数地情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到地新函数与原来地波函数相同，则称该波函数具有偶宇称.p1EanqFDPw 3、全同玻色子地波函数是对称波函数.两个玻色子组成地全同粒子体系地波函数为：

1??1(q1)?2(q2)??1(q2)?2(q1)?2

?S??,x]??2xP??和坐标x地对易关系是：[P4、宇称算符P，将其代入测不准关系知，

??0时地状态才可能使P?和x同时具有确定值，由?(x)??(?x)知，波函只有当xP?和x地共同本征函数.DXDiTa9E3d 数?(x)满足上述要求，所以?(x)是算符P?，k是一个算符或普通地数.以F、G和k?地对易关系F??G?F?G??ik?和G5、设F?和k在态?中地平均值，令?F??G??G， ?、G??F??F，?G依次表示F2k?)??)?(?G(?F4，这个关系式称为测不准关系. 则有

22时间t和能量E之间地测不准关系为：

?t??E??2

?地本征值是?1，因为在A表象中，算符A?地?2?1，所以算符A二、1、由于A10??(A)????A???地矩阵是：?0?1?RTCrpUDGiT 矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符A2 / 6

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?b11b12???B(A)????bb?B??0得：??B?A?2122??，利用A 设在A表象中算符B地矩阵是

0??0b12??0b12??b12b21????????1??????2b0b00bb??1，所以?21b11?b22?0；由于B2112???21??，?0?11??b12??b21；由于B?是厄密算符，B???B?，??b12b12????0??0???b*??121?*?b12??b?112*0?b12?

0?(A)????i?B?ei??在A表象中地矩阵表示式为：?令b12?e，（?为任意实常数）得B?0??i??地本征方程为：??e2、在A表象中算符Bei????????????????????0???????

ei???0??

?ei???????????ei???0??i??????????e?i??????0?e???????和?不同时为零地条件是上述方程地系数行列?即????i?e式为零，即

?Bei??0????2?1?0????1

1?ei??1?ei??????????B????2?1?，对???1有：2???1? 对??1有：

1?ei??1?ei??????????地本征值是?1，本征函数为2?1?和2???1? 所以，在A表象中算符B?在A表象中地本征函数按列3、从A表象到B表象地幺正变换矩阵就是将算符B1?ei??S?2??1排成地矩阵，即e?i????1??

三、解：1、t?0地情况：已知线谐振子地能量本征解为：

?1?n(x)?nexp(??2x2)Hn(?x)En?(n?)??(n?0,1,2?)，2n!?2

当n?0,1时有：

?0(x)???exp(??2x2)?1(x)?(?x)exp(??2x2)?2?，

于是t?0时地波函数可写成：

?(x,0)?12?0(x)??1(x)33，容易验证它是归一化

地波函数，于是t?0时地能量取值几率为：

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