内容发布更新时间 : 2025/1/3 19:04:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
初等数论考试试卷1
一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果ba，ab，则( ). A
a?b
B a??b C a?b D a??b
2、如果3n，5n，则15（ ）n.
A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.
A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则 A
ac?bc(modm)
B a?b C ac?bc(modm) D a?b
5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解. A
(a,b)c
B
c(a,b)
C
ac
D
(a,b)a
6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9
二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).
3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( ).
4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程9x?21y?144. 3、解同余式12x?15?0(mod45).
?429???563??,其中563是素数. （8分） 4、求
四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)
nn2n3??n3261、证明对于任意整数,数
是整数.
2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和.
试卷1答案
一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)
1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).
3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为(
a[]b
).
4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素 ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).
6、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.
三、计算题(每题8分，共32分) 1、
求[136,221,391]=?（8分）
解 [136,221,391]
=[[136,221],391]
136?221,391 =[17]
=[1768,391]
------------(4分)
1768?391 = 17
=104?391
=40664. ------------（4分）
2、求解不定方程9x?21y?144.（8分）
解：因为（9，21）=3，3144，所以有解； ----------------------------（2分）
化简得3x?7y?48； -------------------（1分）
考虑3x?7y?1，有x??2,y?1， -------------------（2分）
所以原方程的特解为x??96,y?48， -------------------（1分）
因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。 -------------------（2分）
3、解同余式12x?15?0(mod45). （8分）
解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. ----------（1分）
又同余式等价于4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. ------------（1分）
我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）
即定理4.1中的x0?10. ------（1分）
因此同余式的3个解为
x?10(mod45), ---------（1分）
x?10?45(mod45)?25(mod45)3, -----------------（1分） 45(mod45)?40(mod45)3.---------（1分）
x?10?2?
?429???563??,其中563是素数. （8分） 4、求
?429???563?看成Jacobi符号,我们有 解 把??429????(?1)?563?429?1563?1.22?563????429?4292?18?563??134??2??67?????????????(?1)?429??429??429??429??67???????(?1)429???27???????(?1)?67?67?1429?1.22?67????429?---------------（3分）
?429??429???????6767????27?167?1.22?67??67???????27??27?----------------------（2
分）