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矩阵在解线性方程组中的应用研究
作者：李羿如
来源：《文理导航》2017年第02期
【摘 要】线性方程组求解时数学学科的核心内容，是整个数学解题的基础工具，我们在学习过程中，要掌握方程组解答的相关理论和经验，提高线性方程组的解题速度和准确率。我们在学习中发现，矩阵可以应用于线性方程组解答，将线性方程组系数和常数为行列式矩阵为基础，把复杂的方程组进行简化，可以帮助我们更好地解答线性方程组。 【关键词】矩阵；线性方程组；高中数学
在高中数学学习中，求解线性方程组是重要的知识点，对于方程组的求解，我们通常有两个求解方向，一种是寻找线性方程组的规律，根据学习经验对方程组进行变换，将方程组变形为基本的微积分问题进行求解；第二种是进行简化求解，以线性方程组的系数和常数列成矩阵，通过矩阵变化计算来求解线性方程组的解。 1.基本数学概念分析
线性方程组是指在一个方程组中包含了多个未知数，同时未知数均为一次，在一般的线性方程组中，会有m个公式组成，包含了n个未知数，我们要对每一个方程进行加减换算，最终得到只包含一个未知项的方程进行求解，得出第一个未知项的数值，然后将求得的未知数代入到其他的方程组中，依次求解不同的未知项数值。矩阵是高中数学中常用的解题工具，关于矩阵的知识可以延伸出零矩阵、单位矩阵、矩阵的和、矩阵乘积、逆矩阵、转置矩阵、对称矩阵、行列式、矩阵特征方程及特征向量等。矩阵在线性方程组求解中应用简化了求解过程，通过将方程式列成矩阵可以找到未知项之间的关系，确定求解的方向，在矩阵中往往会出现相关联的元素，将这些元素列成行和列的方式能够快速找出未知项的解答关系。对于一个线性方程组可以得到系数矩阵A和未知项矩阵X，并且方程的常数项也可以列成矩阵b，这样就可以得出一个简约化的Ax=b的线性方程组。 2.矩阵在解线性方程组中的应用 2.1克莱姆法则应用
对于线性方程组的解答，我们应用矩阵进行方程组求解，将方程组变换为特殊的矩阵形式，其中最为常用的就是矩阵的克莱姆法则，如果线性方程组的未知项个数和方程数量相同，我们就可以应用这一法则进行求解。首先要将方程组的未知项系数列成系数矩阵，记为矩阵A，同时矩阵A不能为零，在满足一个要求的基础上，可以将线性方程组引申到克莱姆法则进
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行求解。对于一般的线性方程组，假设其包含了n个方程式，同时方程组中包含了n个未知项，对于所得的系数矩阵和常数矩阵进行等量变化，就能够得出未知项的数值。 2.2矩阵消元法求解
矩阵消元法是线性方程组求解中最为常用的求解方法，把系数矩阵和常数矩阵扩展为方程组的增广矩阵，并根据行列式的初等法则进行基本的变换，从而将复杂的矩阵简化为较为阶段的阶梯型矩阵，这种矩阵和常数矩阵的对应关系一目了然，化简为阶梯型的矩阵和原来的线性方程组具有直接相同的未知项求解，我们可以将未知项带入到求解所得的阶梯型矩阵，经过整理求解可以得到相应的方程组的解。 3.矩阵在线性方程组中的实际应用
我们在高中线性方程組求解中，可以通过基本矩阵来获得线性方程组的基本特性，并进一步应用到方程组中，我们根据线性方程组可以生成矩阵形式Ax=b，并根据系数矩阵和增广矩阵来判断方程组是否有解。我们在判断线性方程组解的时候，要借助矩阵的知识对系数矩阵进行相应的简化，尽量将矩阵进行简化处理成阶梯型矩阵，为方程组求解提供进一步的依据。我们在Ax=b的矩阵方程求解时，可以判断系数矩阵和常数矩阵是否有相同的秩，如果两者秩不相同则可以判断线性方程组没有方程解；如果系数矩阵和常数矩阵两者有相同秩，则可以进一步去判断方程组解的个数，这样就分为两种情况，一种情况是系数矩阵的秩为n，线性方程组会有唯一的解，而如果秩小于n时，则方程组就会有无穷多的解。 例如在以下线性方程组的求解中，方程组的形式为： X1-X2-3X3+X4=1 X1-X2+2X3-X4=3 4X1-4X2+3X3-2X4=6 2X1-2X2-11X3+4X4=0
我们根据方程组可以获取相应的系数矩阵和增广矩阵，并且根据矩阵等量变换进行简化处理，从而得出方程组相应的解，我们将矩阵进行处理后发现，系数矩阵和增广矩阵两者的秩不相等。因此，我们可以判断此方程组无解。我们在矩阵知识的应用时，要弄清楚矩阵行列式的概念，并将矩阵和线性方程组直接对应起来，只有对矩阵进行正确的推算，才能得出正确的对应关系，同时要明确特征向量和特征值的本质，将复杂的线性方程组简化为矩阵向量，降低方程组求解的难度。 4.结语
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综上所述，线性方程组求解是高中数学的重要知识点，也是我们重要的考点，我们在实际的学习中，要正确线性方程组和矩阵之间的转变，把复杂的线性方程组直接转变为矩阵形式，解决方程组求解的难题。通过对矩阵的学习，我们找到了一条现行方程组求解的新思路，吧方程组和矩阵两者直接关联在一起，我们要理清解题思路，灵活掌握矩阵的简化方法，并做好相关的归纳，总结出属于自己的一套解题思路，明细解题过程中可能出现的知识要点，灵活掌握矩阵在线性方程组解答中的应用。 【参考文献】
[1]林清.矩阵在解线性方程组中的应用[J].科技展望，2015（11） [2]唐高阳.矩阵函数在解线性方程组中的应用[J].科技信息，2012（24） [3]王路群.整数矩阵及其在解线性方程组方面的应用[J].数学教育，2010（04）