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华侨中学高三数学（理科）第二轮复习

专题：数形结合思想 教学地点：厦门一中集美分校 高三（4）班

授课教师：华侨中学 王磊 2016.03.24

【思想方法概述】

数形结合的思想在每年的高考中都有所体现，它常用来研究方程根的情况，讨论函数的值域（最值）及求变量的取值范围等．对这类内容的选择题、填空题，数形结合特别有效．从2015年的高考题来看，数形结合的重点是研究“以形助数”．预测2016年高考中，仍然会沿用以往的命题思路，借助各种函数的图象和方程的曲线为载体，考查数形结合的思想方法，在考题形式上，不但有小题，还会有解答题，在考查的数量上，会有多个小题考查数形结合的思想方法．复习中应提高用数形结合思想解题的意识，画图不能太草，要善于用特殊数或特殊点来精确确定图形间的位置关系． 以形助数(数题形解) 以数辅形(形题数解) 网][来源:Zxxk.Com][来源学科网][来源:Zxxk.Com][来源:Z*xx*k.Com][来源学科借助形的生动性和直观性来阐述数形之间的关系，把形转化为数，即以形作为手段，数作为目的的解决数学问题的数学思想． 借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的的解决问题的数学思想．[来源:Zxxk.Com]数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与[来源学&科&网Z&X&X&K][来源学_科_网]灵活性的有机结合． 1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分 为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．

（2）双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．

（3）简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．

3．数形结合思想在高考试题中主要有以下六个常考点 （1）集合的运算及Venn图； （2）函数及其图象；

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线；

（5）对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可； （6）对于研究函数、方程或不等式（最值）的

问题，可通过函数的图象求解（函数

的零点、顶点是关键点），做好知识的迁移与综合运用．

4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：

（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域； （2）用图象法讨

论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法

，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解；

（3）在解答题中数形结合思想是探究解题的思路时使用的，不可使用形的直观代替相关的计算和推理论证．

?x?1?0y?【例题1】. 【2015课标全国Ⅰ理15】若x,y满足约束条件?x?y?0，则的最大值

x?x?y?4?0?为 .

【变式】设点P(x,y)为圆x2?y2?1上的动点.

(1) 求(x?2)2?(y?1)2的取值范围 （2）求x?y的取值范围； (3)求

【规律方法】

如果参数、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，一般考虑用数形结合的方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有：

(1)y＝kx＋b中k表示直线的斜率，b表示直线在y轴上的截距． b－n(2)表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)连线的斜率． a－m

(3)（a－m）2＋（b－n）2表示坐标平面上两点(a，b)，(m，n)之间的距离．

只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形

y?1的取值范围 x?2结合的思想方法．

【例题2】已知0?a?1.则方程a|x|?|logax|的实根个数为

【变式】已知关于x的方程x?4x?5?m有四个不相等的实根，则实数m的取

2值范围为

【规律与总结】抽象的数学问题通过图象的直观性获得解题思路，以形辅数。

【例题3】（2015课标全国Ⅰ理10）已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若PF?4FQ，则QF?（ ） A.

【规律与总结】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线；4、数形结合

【变式】已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和最小值是( ) A．5 B．8 C.17－1 D.5＋2

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