内容发布更新时间 : 2024/6/24 20:34:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
高中数学难点24 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.
●难点磁场
(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
●案例探究
［例1］如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
10，求椭圆方程. 2?的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛4物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.
命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长
的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★★★★级题目.
知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.
技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.
解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.
由方程组??y?x?m?y?4x2,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①
∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N， ∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0, 解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0) 设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2, ∴|MN|=42(1?m).
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点A到直线l的距离为d=
5?m2.
∴S△=2(5+m)1?m,从而S△2=4(1－m)(5+m)2 =2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(
2?2m?5?m?5?m3
)=128.
3∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号. 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82. ［例2］已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)
(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.
(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.
命题意图：第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”，属★★★★★级题目.
知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式.
错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.
技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.
解：(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2=k(x－1),代入C的方程，并整理得
(2－k2)x2+2(k2－2k)x－k2+4k－6=0
(*)
(ⅰ)当2－k2=0,即k=±2时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点 (ⅱ)当2－k2≠0,即k≠±2时
Δ=［2(k2－2k)］2－4(2－k2)(－k2+4k－6)=16(3－2k)
①当Δ=0,即3－2k=0,k=
3时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点. 2②当Δ＞0,即k＜
33,又k≠±2,故当k＜－2或－2＜k＜2或2＜k＜时，方22实用文档
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程()有两不等实根，l与C有两个交点.
③当Δ＜0，即k＞
*
3时，方程(*)无解，l与C无交点. 23，或k不存在时，l与C只有一个交点； 2综上知：当k=±2,或k=
当2＜k＜
3,或－2＜k＜2,或k＜－2时，l与C有两个交点； 2当k＞
3时，l与C没有交点. 2(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12－y12=2,2x22－y22=2两式相减得：2(x1－x2)(x1+x2)=(y1－y2)(y1+y2)
又∵x1+x2=2,y1+y2=2 ∴2(x1－x2)=y1－y1 即kAB=
y1?y2=2
x1?x2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.
［例3］如图，已知某椭圆的焦点是F1(－4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC中点的横坐标；
(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.
命题意图：本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强，属★★★★★级题目.
知识依托：椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.
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