内容发布更新时间 : 2024/9/29 4:17:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

（Ⅱ）若，求点到平面的距离．

【答案】（1）见解析（2）【解析】

试题分析：（1）证明求得

。

，

，则，所以；（2）利用，

试题解析：

（1）在矩形ABCD中，又又（2）在由（1）知又∵

中，平面，∴,

∥所以，在

,

面中，

设点到平面

的距离为

所以点到平面

的距离为

,而

面

,

，是棱，∴平面

的中点，∴.

19.某机构组织语文、数学学科能力竞赛，每个考生都参加两科考试，按照一定比例淘汰后，按学科分别评出一二三等奖．现有某考场的两科考试数据统计如下，其中数学科目成绩为二等奖的考生有人．

第页 9

（Ⅰ）求该考场考生中语文成绩为一等奖的人数；

（Ⅱ）用随机抽样的方法从获得数学和语文二等奖的考生中各抽取人，进行综合素质测试，将他们的综合得分绘成茎叶图（如图），求两类样本的平均数及方差并进行比较分析；

（Ⅲ）已知该考场的所有考生中，恰有人两科成绩均为一等奖，在至少一科成绩为一等奖的考生中，随机抽取人进行访谈，求两人两科成绩均为一等奖的概率．

【答案】（1）4（2）数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差．（3）【解析】

试题分析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生人数及频率，可求得总人数，再利用对立事件的概率公式求出该考场考生中语文成绩为一等奖的频率，与总人数相乘即可得结果（Ⅱ）分别利用平均值公式与方差公式求出数学和语文二等奖的学生两科成绩的平均值与方差，可得数学二等奖考生较语文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差；（Ⅲ）利用列举法求得随机抽取两人的基本事件个数为个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件共个，利用古典概型概率公式可得结果. 试题解析：（Ⅰ）由数学成绩为二等奖的考生有人，可得奖的考生

人

，所以语文成绩为一等

（Ⅱ）设数学和语文两科的平均数和方差分别为，，，

,

,因为

,

，所以数学二等奖考生较语

文二等奖考生综合测试平均分高，但是稳定性较差. （Ⅲ）两科均为一等奖共有人，仅数学一等奖有人，仅语文一等奖有人----9分 设两科成绩都是一等奖的人分别为

，只有数学一科为一等奖的人分别是

,只有语文一科为一

等奖的人是，则随机抽取两人的基本事件空间为

,共有个，而两人两科成绩均为一等奖的基本事件

.

共个，所以两人的两科成绩均为一等奖的概率

第页

10

20.已知椭圆：、两点，以

（）的离心率，且右焦点为．

．斜率为的直线与椭圆交于

为底边作等腰三角形，顶点为

（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）求【答案】（1）【解析】 【分析】

（Ⅰ）由椭圆的离心率为代入椭圆方程，得

的面积．

【详解】（Ⅰ）由已知得

，

∴椭圆的标准方程（Ⅱ）设直线的方程为

．

，代入椭圆方程得 ，

，解得

．

，右焦点为

，结合，根据韦达定理

，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）设

，

的面积．

（2）

中点的坐标，根据斜率可求得，进而能求出

…………①，

设则因为

是等腰

、

，

的底边，所以，

中点为

． ，

所以的斜率为，解得，

此时方程①为解得此时，点

，

． ，所以到直线，

：

，

，所以的距离

，

所以的面积．

【点睛】本题考查椭圆方程和三角形面积的求法，具体涉及到椭圆的简单性质、直线和椭圆的位置关系、

第页

11

根与系数的关系、根的判别式、中垂线方程的求法、弦长公式等基本知识点，解题时要认真审题，注意等价转化思想的灵活运用． 21.设函数（Ⅰ）求函数（Ⅱ）记函数【答案】（1）【解析】 【分析】 （Ⅰ）即证

的定义域为

，即证明

，求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）要证

，

（

的单调区间； 的最小值为在

，证明：

．

上单调递增．（2）见解析

）．

上单调递减，在

，构造函数，判断函数的单调性，通过函数的最小值推出结果即可．

的定义域为

．

．

【详解】解：（Ⅰ）显然

∵∴若若

，，，在

，

，此时，此时

，，

在在

上单调递减； 上单调递增； 上单调递增．

，

综上所述：上单调递减，在

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：即：要证令

．

，即证明

，即证明

，则只需证明

，

，

∵∴当当∴∴∴

第页

，且

，，

，此时，此时

，，

在在．

．

．

，

上单调递减； 上单调递增，

12