内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:21:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
7.4 基本不等式
一、选择题
1.若x>0,则x+的最小值为( ).
4
xA.2 B.3 C.22 D.4
4
解析 ∵x>0,∴x+≥4.
x答案 D
23
2.设a,b满足2a+3b=6,a>0,b>0,则+的最小值为( )
ab25
A. 611
C. 3
8
B. 3 D.4
解析 由a>0,b>0,2a+3b=6得+=1,
322323ab23ba∴+=(+)(+)=+++ abab3232ab13≥+2 6
abba1325·=+2=. ab66
ba6
当且仅当=且2a+3b=6,即a=b=时等号成立.
ab52325
即+的最小值为. ab6答案 A
3.气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天
?n*?
起连续使用,第n天的维修保养费为?+4.9,n∈N?元,使用它直至“报废最
?10?
合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( )
A.600天 B.800天 C.1 000天 D.1 200天
解析 设一共使用了n天,则使用n天的平均耗资为
n???5++4.9?n10??
32 000+
2
n=
32 000n++4.95, n20
32 000n当且仅当=时,取得最小值,此时n=800.本题的函数模型是一个在生
n20
活中较为常见的模型,注意如何建立这类问题的函数关系式,在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱,这样要从总的耗资中把这部分除去. 答案 B
4.若正实数a,b满足a+b=1,则( ). 11
A.+有最大值4
ab
1
B.ab有最小值
4
2
2
C.a+b有最大值2 解析 由基本不等式,得ab≤
2
D.a+b有最小值 2
a2+b2
2
=
a+b2
2
-2ab11
,所以ab≤,故B错;
4a1a+b1a+b+==≥4,故A错;由基本不等式得≤ babab2
a+b2
= 1
,即a2
11
+b≤ 2,故C正确;a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-2×=,故D错.
42答案 C
14
5.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=+的最小值是( ).
ab7
A. 2
B.4
9
C.
2
D.5
141?14?1??b4a??1?
解析 依题意得+=?+?(a+b)=?5+?+??≥?5+2
ab2?ab?2??ab??2?b4a?9
×?=,ab?2
a+b=2??b4a当且仅当?=
ab??a>0,b>04
1
2
,即a=,
3
b=时取等号,即+的最小值是,选C. 3ab2
49
答案 C
a+b6.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则
cd的最小值是( ). A.0
B.1
C.2
D.4
2
2
a+b解析 由题知a+b=x+y,cd=xy,x>0,y>0,则
cd≥
x+y=
xy2
xyxy2
=4,当且仅当x=y时取等号.
答案 D
117. 已知a、b都是正实数, 函数y?2aex?b的图象过(0,1)点,则?的最
ab小值是( )
A.3?22 B.3?22 C.4 D.2
答案 A 二、填空题
8. 已知x,y为正实数,且满足4x+3y=12,则xy的最大值为________. ?4x=3y,
解析 ∵12=4x+3y≥24x×3y,∴xy≤3.当且仅当?
?4x+3y=12,
即
?x=3,
2??y=2.
答案 3
时xy取得最大值3.
2ab9.若a是1+2b与1-2b的等比中项,则的最大值为________.
|a|+2|b|
解析 a是1+2b与1-2b的等比中项,则a2=1-4b2?a2+4b2=1.
2ab2ab∵a2+4b2=(|a|+2|b|)2-4|ab|=1.∴=,这个式子只有|a|+2|b|1+4|ab|
当ab>0时取得最大值,当ab>0时,