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代数与几何综合题

代数与几何综合题从内容上来说，是把代数中的数与式、方程与不等式、函数，几何中的三角形、四边形、圆等图形的性质，以及解直角三角形的方法、图形的变换、相似等内容有机地结合在一起，同时也融入了开放性、探究性等问题，如探究条件、探究结论、探究存在性等。经常考察的题目类型主要有坐标系中的几何问题（简称坐标几何问题），以及图形运动过程中求函数解析式问题等。

解决代数与几何综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻译并转化为显性条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于联想和转化，将以上得到的显性条件进行恰当地组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的是，恰当地使用分析综合法及方程与函数的思想、转化思想、数行结合思想、分类与整合思想等数学思想方法，能更有效地解决问题。

第一类：与反比例函数相关

1．（09北京）如图，点C为⊙O直径AB上一点，过点C的直线交⊙O 于点D、E两点，且∠ACD=45°，DF?AB于点F，EG?AB 于点G． 当点C在AB上运动时，设AF?x，DE?y，下列 图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ）

C A 2mB 2．如图，在平面直角坐标系中 ,二次函数y?ax2?(a?0)的图象aD 经过正方形ABOC 的三个顶点 A、B、C ，则m 的值为 ．

23．（09延庆）阅读理解：对于任意正实数a，b，(a?b)≥0，

?a?2ab?b≥0，?a?b≥2ab，只有当a?b时，等号成立．

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结论：在a?b≥2ab（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a?b≥2p， 只有当a?b时，a?b有最小值2p． 根据上述内容，回答下列问题： （1） 若m?0，只有当m? 时，m?1有最小值 ． m12（2） 探索应用：已知A(?3，0)，B(0，?4)，点P为双曲线y?(x?0)上的任意一点，

x过点P作PC?x轴于点C，PD?y轴于D． 求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时 四边形ABCD的形状．

y D A ?3 P

4．（08南通）已知双曲线y?

O C x ?4 B k1与直线y?x相交

4x

于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在k

上的动点．过点B作x

BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥xA点左侧）是双曲线y?轴交双曲线y?

（第3题）

y ·M A D O · x B k

于点E，交BD于点C． x

C E N （1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点 坐标及k的值． （第4题）

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积

为4，求直线CM的解析式．

（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，

求p－q的值．

28和y? 在平面直角坐标系xOy第一象限中的图xx 5．（09.5西城）已知：反比例函数y?象如图所示，点A在y?与x轴平行，分别与y?82的图象上，AB∥y轴，与y?的图象交于点B，AC、BDxx28、y?的图象交于点C、D. xx（1）若点A的横坐标为2，求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标；

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（2）若点A的横坐标为m，比较△OBC与△ABC的面积的大小；

（3）若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似，请直接写出点A的坐标.

答案：（1） 点F的坐标为(2,).

（2）S?OBC?S?ABC. （3）点A的坐标为(2,4)

175m是常数）6．（07上海）如图，在直角坐标平面内，函数y?（x?0，的图象经过A(1，4)，

mxB(a，b)，其中a?1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，

连结AD，DC，CB．

（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB；

（3）当AD?BC时，求直线AB的函数解析式． 答案：

（1）点B的坐标为 ?3，?； （2）?DC∥AB． （3）所求直线AB的函数解析式是y??2x?6或y??x?5

y A D O C

B x ??4?3?二、与三角形相关

7．（07北京）在平面直角坐标系xOy中, 抛物线 y = mx2 + 23mx + n经过P (3, 5), A(0, 2)两点. (1) 求此抛物线的解析式;

(2) 设抛物线的顶点为B, 将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l, 直线l与抛物线的对称轴交于C点, 求直线l的解析式;

(3) 在(2)的条件下, 求到直线OB, OC, BC距离相等的点的坐标． 123答案：(1)抛物线的解析式为: y =x2?x+ 2

33(2)直线 l 的解析式为 y =

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