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金迈思数学 “平方差公式”公开课活动材料

编者按：2010年12月15日下午，川汇区教研室在周口市第五初级中学多媒体教室举行了八年级数学公开课活动，由五中赵保成老师作课，区教研员李世臣老师点评，活动取得圆满成功．

以下是公开课活动材料，以飨读者．

钻研教材 精心设计 让数学课堂回归自然

——关于人教版初中数学“平方差公式”一节课的思考

李世臣

（河南省周口市川汇区教体局教研室 466001）

一、对这节课的认识

综合评价：“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心地位．该课基于学生已有的认知基础，引领学生经历公式的形成过程，即“观察——归纳——猜想——验证——证明——符号化”的发现过程．利用多媒体辅助课堂教学，生动直观的展示教学的部分内容，以突出重点，突破难点．教学过程各环节过渡自然、详略得当、重点突出．使学生在探究、合作、交流中，自主获得平方差公式，理解其几何意义，掌握其结构特征，并达到灵活运用．学生经历了发现学习过程，增强了符号感、培养了合情推理和归纳能力．

几个亮点：

一是提供了探索与交流的空间．使学生经历了观察、实验、猜测、推理、交流、反思等活动，经历了从做数学到用数学的能力的形成与提升过程，学生的思维从感性到理性得到提升，让合作、交流、互动、生成真正落实在具体的知识探究行动之中．

二是注重了数学思想方法的培养．整个教学过程中渗透数学思想方法，比如一般与特殊、数形结合思想、转化思想、算两次思想等，学生体会到了数学思想方法在解决问题中的指导作用．

三是关注了学生的数学学习情感．通过创设问题情境，培养观察、发现、猜想、提出命题等基本能力，极大地调动了学生的学习兴趣，激活了学生的思维，激发了学生的创新热情．学生在获得知识技能、活动经验的同时也收获了自信与喜悦．

四是体现了数学的本质．乘法公式是初中数学的核心内容，公式的本质是“公式的结构不变性，字母可变性”，平方差公式是初中生开始系统学习的第一个数学公式，本节课能抓住数学公式的本质为核心进行设计是一个创新．

二、对教材的认识

（一）《数学课程标准》要求

会推导乘法公式：（a+b）（a?b）=a2?b2；（a+b）2=a2+2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算．

（二）“平方差公式”的教学内容、教学目标与教学诊断 1．内容解析

“平方差公式”是在学习了有理数运算、列代数式、一次方程及不等式、整式的加

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金迈思数学 “平方差公式”公开课活动材料

减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．

对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法．因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有重要的地位．

“平方差公式”是学习“乘法公式”中的第一个公式．教学中，应让学生了解公式产生的背景，经历公式形成的过程．首先，让学生从已有认知出发，在一组多项式乘以多项式的乘法运算中，发现有特殊形式的多项式相乘，并且运算结果简单，从而诱发学生从中总结出这种特殊的多项式相乘的特征，初步感受平方差公式；其次，通过数形结合验证平方差公式的合理性，进而确立平方差公式的地位和作用，既为符合公式特征的整式乘法运算带来方便，又为后续学习用公式法分解因式奠定基础；最后，从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊”到“一般”或从“一般”到“特殊”的探究方法，为学生以后能主动探究完全平方公式，甚至是立方和、立方差等数学公式奠定良好的迁移基础．

要熟练而正确地应用公式解决问题，就必须对公式的结构特征进行剖析，在剖析中加深对公式特征和表达形式的理解与掌握，这就为学生学习、掌握其他数学公式提供了“模板”．因此，“平方差公式”在“乘法公式”中具有核心的地位．

本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，理解乘法公式的结构特征及几何意义，并能灵活运用平方差公式进行运算．

2．目标解析

⑴了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题．

⑵经历平方差公式产生的过程，体验知识的产生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，进一步发展学生的符号感，培养他们的归纳推理和合情推理的能力．

⑶在探索平方差公式和用平方差公式解决问题的过程中，积累数学活动的经验，学会与人合作交流，欣赏“平方差公式”的魅力，提高数学学习的兴趣，体验学习的成功与快乐．

3．问题诊断

但本节课是在学习了多项式乘法的基础上研究特殊形式的多项式相乘，主要体现在结构特征的特殊性上，而这种特殊形式又灵活多样，学生往往难以掌握用字母表示数的广泛含义，如字母可以表示负数、多项式等．

容易出现以下3种错误：

①符号的错误，如（?5a?3）（+5a?3）=25a2?9； ②系数不平方的错误，如（2a?1）（2a+1）=2a2?1；

③不能运用公式的却运用公式的错误，如（a+0.5b）（b?0.5a）=a2?0.25b2．

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金迈思数学 “平方差公式”公开课活动材料

其原因是只了解平方差公式的表面形式，而未真正掌握平方差公式的本质特征． （三）研究教材，揣摩教材的编写意图．

教材是编写者在认真学习《课标》，深刻领会新课程理念，透彻分析课程目标的基础上，运用教育学、心理学等原理精心编制的供教学使用的最重要的素材，并经全国中小学教材审定委员会严格审核通过的，具有一定的指导性和权威性．因此，教师必须深入挖掘教材，透彻理解教材，仔细揣摩教材的编写意图．

1．对课题导入的看法

“平方差公式”这部分内容人教版是这样编排的：先设置一个探究栏目，安排了3个具有特殊形式的两个多项式相乘的题目，让学生运用已经学习的知识计算多项式的积，并探索其中所蕴涵的规律．然后再计算（a+b）（a?b），进而得出平方差公式．然后又设置一个思考栏目，让学生利用算两次原理得出图形中的面积关系，通过图形直观说明平方差公式的合理性．在研究分析教材时，我提出了以下几个问题．

第一，为什么教材没有通过让学生直接计算（a+b）（a?b）导入，而是设计了一个探究栏目?

多项式乘以多项式法则和平方差公式是上下位关系，可以按照运算法则直接结算即可实现自然轻松地过度，为什么不让直接推理，经过分析我觉得其目的是，让学生在已有的认知基础上经历一次从发现公式到导出公式的全过程，即利用已经掌握的多项式乘以多项式法则得出三个算式的结果，在此基础上让学生经历观察（每个算式及其结果的特点）、比较（不同算式及其结果间的异同）、归纳（不同算式及其结果的共同特征）、猜想（可能具有的规律）、推理（论证猜想的结果）的过程．这个过程可以充分体现学生对数学知识的认识过程，其中，从多项式乘法到3个特殊算式的运算，是从一般到特殊的认识过程；从3个特殊算式的运算再到平方差公式，是从特殊到一般的认识过程；而从多项式乘法到平方差公式，又是从一般到特殊的认识过程（如图）．整个过程经过多次“一般”与“特殊”的转换，能够充分体现学生参与数学活动的深度和广度，是一种真正意义上的数学学习，而不只是简单、机械地模仿与记忆．

的几何解释．

通过拼图计算导入，起点低、落点高，数学活动展示充分，既可以直观明了说明公式的几何特征，又可以体现数形结合思想，教材没有这样安排我认为有以下两个原因：一是《数学课程标准》对“平方差公式”的目标要求是“了解公式的几何背景”，只要知道此公式可以通过几何图形的面积加以说明即可，并不要求达到“理解”或“掌握”的程度．因此，通过拼图计算说明平方差公式不是本节课的重点，而数形结合思想也不

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一般→特殊 一特般→殊 特例 特殊→一般 多项式×多项式 平方差公式 第二，为什么教材没有通过拼图计算发现公式直接引入?而是把拼图计算仅作公式