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人教版九年级数学上册知识点总结

21.1 二次根式

知识点一 二次根式的概念

(1) 一般地,我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式。二次根式a的实质是一个非负数a的算术平方根。其中“

”叫做二次根号。

”。如4是二次根式，虽然4=2，但2不是二次根

2

(2) 正确理解二次根式的概念，要把握以下几点： ① 二次根式是在形式上定义的，必须含有二次根号“式。

② 被开方数a必须是非负数，即a≥0.如?3就不是二次根式，但式子(?3)是二次根式。 ③ “

”的根指数为2，即“2”，一般省略根指数2，写作“

”，注意，不可误认为根指数是“1”或“0”。

提示：判断是不是二次根式，一看形式，二看数值，即形式上要有二次根号，被开方数要是非负数。

知识点二 二次根式的性质

(1)a(a≥0)既是二次根式，又是非负数的算术平方根，所以它一定是非负数，即a≥(a≥0)，我们把这个性质叫做二次根式的非负性。

(2)(a) = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时常用于二次根式的化简和计算，可以去掉根号；

逆用时可以把一个非负数写成完整平方数的形式，常用于多项式的因式分解。

2

(3)a = a (a≥0)，这个性质可以正用，也可以逆用，正用时用于二次根式的化简，即当被开方数能化为完全平方数(式)时，就可以利用该性质去掉根号；逆用时可以把一个非负数化为一个二次根式。

2

知识点三 代数式

定义：用基本运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，叫做代数式。

21.2 二次根式的乘除

知识点一 二次根式的乘法法则

一般地，对二次根式的乘法规定：a·b=ab(a≥0,b≥0)，即二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

知识点二 积的算术平方根的性质

ab=a·b(a≥0，b≥0)，积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积。 知识点三 二次根式的除法法则

一般地，对二次根式的除法规定：变。

ab=

a(a≥0，b＞0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不b知识点四 商的算术平方根的性质

aa=(a≥0,b＞0)，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 bb知识点五 最简二次根式

必须满足以下两个条件：

(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

21.3 二次根式的加减

知识点一 二次根式的加减

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并，二次根式加减法的实质是将被开方数相同的二次根式合并，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变。

知识点二 二次根式的混合运算

(1)二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序相同：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。

(2)在二次根式的运算中乘法法则和乘法公式仍然适用。

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22.1 一元二次方程

知识点一 一元二次方程的定义

等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点：

① 只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。

知识点二 一元二次方程的一般形式

一般形式：ax + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2

2

知识点三 一元二次方程的根

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。

22.2 降次——解一元二次方程

22.2.1 配方法

知识点一 直接开平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=?a.

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(2)直接开平方法适用于解形如x=p或(mx+a)=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 (3)用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

(4)直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。

2

知识点二 配方法解一元二次方程

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。

配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边；(2)方程两边都除以二次项系数；

(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； (4)若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 22.2.2 公式法

知识点一 公式法解一元二次方程

(1)一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)，如果b-4ac≥0，那么方程的两个根为x=

2

2

?b?b2a2?4ac，

这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

2

(2)一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的过程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤：

2

①方程化为一般形式：ax+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值；

2

②确定公式中a,b,c的值，注意符号；③求出b-4ac的值；

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④若b-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b-4ac＜0，则方程无实数根。

知识点二 一元二次方程根的判别式

式子b-4ac叫做方程ax+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b-4ac.

222

△＞0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根

2

一元二次方程 △=0，方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根 根的判别式

2

△＜0，方程ax+bx+c=0(a≠0)无实数根 22.2．3 因式分解法

2

知识点一 因式分解法解一元二次方程

(1)把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。

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(2)因式分解法的详细步骤：

① 移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；

② 把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式； ③ 令每一个因式分别为零，得到一元一次方程； ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。

知识点二 用合适的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用范围 22直接开平方法 平方根的意义 形如x=p或(mx+n)=p(p≥0) 配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当ab=0，则a=0或b=0 一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 2

若一元二次方程x+px+q=0的两个根为x1,x2,则有x1+x2=-p,x1x2=q. 若一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,则有x1+x2=，?2

bc,x1x2=

aa22.3 实际问题与一元二次方程

知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：

(1)审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。

(2)设：是指设元，也就是设出未知数。

(3)列：就是列方程，这是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。 (4)解：就是解方程，求出未知数的值。

(5)验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。 (6)答：写出答案。

知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型

(1)数字问题

三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1。 三个连续偶数(奇数)：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2,x+2。

三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c. (2)增长率问题

2

设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a(1?x)=b。 (3)利润问题

利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率

(4)图形的面积问题

根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。

23.1 图形的旋转

知识点一 旋转的定义

在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。

我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。

知识点二 旋转的性质

旋转的特征：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等。 理解以下几点：

（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。(2)对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。(3)图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

知识点三 利用旋转性质作图

旋转有两条重要性质：(1)任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(2)对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：

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