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数形结合在中学数学解题中的应用
作者：普国安
来源：《学习导刊》2014年第05期
摘要：数形结合是数学中的重要思想和解题方法。它的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来。数形结合思想在解题教学中发挥着重要作用，可以使某些问题变得直观化，生动化，有助于把握数学问题的本质。 关键词：数学解题；数形结合；应用 1.数形结合的含义
所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。“数和形是初等数学中被研究得最多的对象，数形结合是一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。数形结合是一种重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑”。
数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种抽象思维与形象思维交互运用的重要思维方法，它在数学中占有重要的地位。事实上，数学作为客观事物的一种存在形式，其中任何问题都具备“形”的因素，并发挥它的直观作用，而给出它的一些具体实体感的解答。在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题加以解决；在解决与数量有关的数学问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，变抽象为直观，将数的问题转化成形的问题加以研究、解决。数形结合思想通过“以形助数，以数解形，数形互助”，利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力有极大的帮助。使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2.数形结合的功能、作用 2.1数形结合的功能
2.1.1导向功能。数形结合对许多问题的求解，有着明显的导向作用。注意数形结合的运用，无疑有助于启迪思路，理顺解题线索。
2.1.2简化功能。有不少数学问题，虽然不用数形结合也可解，但若能活用数形结合，往往可简化复杂的变形与讨论，使问题简捷获解。
2.1.3完善功能。几何图形的优点是具有直观性，但是许多数学问题仅利用图形是不能得出正确结论的。此时，很有必要再利用“数”的精确性才能完善问题的解决。
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2.1.4显隐功能。从数形结合入手，分析题目的图形特征或数量关系，有助于挖掘隐含在题目中的条件，从而使问题化隐为显，促成问题的快速解决。 2.2数形结合的作用
2.2.1数形结合可以启迪解题思路，使解题思路明朗“数”和“形”是共存于同一体中的事物的两个侧面，“数”缺“形”少直“形”离“数”难人微，数形结合能给我们解决问题带来一个全新的思路，直观化，由形想数，的灵活性，利用数来研究形的各种性质，寻求规律，可以从不同的角度培养思维简化解题思路。
2.2.2数形结合可以简化解题过程。于借助于形的特点，使得本来复杂的解题过程变得简洁。
2.2.3数形结合解题由数形结合体现了数与形的统一。作为解题方法，“数形结合”实际上包含两个方面：一方面是“形”的问题，寻找其数量关系式，用“代数”来解决；另一方面是代数问题，分析其几何意义，借助“形”的直观来解答。借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的数量关系直觀化、形象化、简单化，而一些几何图形的性质借助于数量的计算和分析可得以严谨化。因而，用数形结合解题具有形象、直观、简捷、快速的特点。数形结合可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，达到优化解决问题途径的目的。
2.2.4数形结合解题充分发挥了数与形的优势。数形结合解题时，对题目既进行几何直观的刻画又进行代数的量化分析，从两个不同的角度对题目进行把握，可以使形与数的优势发挥地淋漓尽致。 3.数形结合的原则
数形结合的三项基本原则进行数形结合，一般说来要遵循以下三项基本原则： 3.1等价性原则
等价性原则是指“数”的代数性质与“形”的几何性质的转换应该是等价的，即对于所讨论的问题形与数所反映的数量关系应具有一致性。有时，由于图形的局限性，构图时的粗糙和不准确将对所讨论的问题产生影响，造成解题失误。 3.2双向性原则
双向性原则是指进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索。代数表达及其运算比起几何图形及其结构有着自身固有的优越性，能克服几何直观方法的许多局限性。 3.3简单性原则
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简单性原则是指数形转换时尽可能使构图简单合理，既使几何作图优美，又使代数计算简洁、明了，避免繁琐的运算。 4.数形结合的途径
数与形转化的宏观取向一般分两种：
一是以形助数。常用的有：借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征。借助算法数学的流程图等。
二是以数助形。常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系描述曲线；借助于点的坐标计算向量；借助于空间向量判断空间图形的相互位置；借助于运算结果与几何定理的结合构造图形等。
4.1由数到形的转换途径
4.1.1方程或不等式问题常可转化为两个函数图象的交点或位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关问题。
4.1.2利用平面向量的数量积及模的性质来寻求数式的几何性质.
4.1.3利用解析几何中的曲线与方程的关系、重要的公式（如两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、直线的截距）、定义（如平面区域）等来谋求数式的图形背景及有关性质。
4.1.4构造几何模型。通过对数式的结构分析，构造出符合数式的几何图形， 4.2由形到数的转化
4.2.1解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系、极坐标系），引进坐标，将几何图形变换为坐标间的数量关系.在此不再举例。
4.2.2三角法：将几何问题与三角沟通，运用三角知识获得探求结论的途径。
4.2.3向量法.即将几何图象向量化，运用向量运算解决几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，化抽象的几何推理为精确的代数运算.特别是运用空间向量、平面的法向量等工具解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题时，更是使问题的解决变得有章可循，有路可走.这方面的例子在近几年来的高考试题中很多，这里从略。 参考文献：