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第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组试卷（答案）
第十一届全国\华罗庚金杯\少年数学邀请赛
决赛试卷(初一组) （红色字为参考答案）
(时间2006年4月22日10:00~l l :30〉
一、.填空 1、计算：?1????4??3?3???(?0.25)2??(?2)4???3?(?)?5?(?2)3??（ ）
78?16????3
2、当m?2?时，多项式am?bm?1的值是0，则多项式4a??b??531?（ 5 ） 2
3、将若干本书分给几名小朋友,如果每人分4本书,就还余下20本书,如果每人分8本书,就剩有1名小朋友虽然分到了一些书,但是不足8本,则共有( 6 )名小朋友
EDC
4、图l中的长方形ABCD是由四个等腰直角三角形和一 FH个正方形EFGH拼成.己知长方形ABCD的面积为120
G平方厘米,则正方形EFGH的面积等于( 10 )平方厘米
AB图15、满足方程|||x-2006|-1|+8|=2006的所有x的和为( 4012 )
6、一个存有一些水的水池,有一个进水口和若干个口径相同的山水口,进水口每分钟进水3立方米.若同时打开进水口和三个出水口,池中水16分钟放完;若同时 打开进水口与五个出水口,池中水9分钟放完.池中原有水( 288 )立方米
7、已知S?1234????24816?(?1)k?1k?k2?20052006?2006，则小于S的最大的整数是( 0 ) 200522
8.如图2,数轴上标有2n+1个点,它们对应的整数是:
?n,?(n?1),,?2,?1,0,1,2,,n?1,n
为了确保从这些点中可以取出2006个,其中任何两个点之间的距离都不等于4,则n的最小值是( 2005 ) -2-10n-1n-n-(n-1)
图2
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组试卷（答案）
二.解答下列各题,要求写出简要过程
9、如图3,ABCD是矩形,BC=6cm,AB =10cm,AC和
BD是对角线.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周,则阴影 部分扫过的立体的体积是多少立方厘米?(z取3.14) 解: ①设三角形BCO以CD为轴旋转一周所得到的立
体的体积是S,S等于高为10厘米,底面半径是6厘米的 圆锥的体积减去2个高为5厘米,底面半径是3厘米的圆 锥的体积. ②即:
S=
ADOB图3C1212×6×10×π-2××3×5×π=90π, 332S=180π=565.2(立方厘米).
答:体积是565.2立方厘米. 10、将21个整数?10,?9,?8,,?3,?2,?1,0,1,2,3,,8,9,10
分为个数不相等的六组数,分别计算各组的平均值,那么这六个平均值的和最大是多少? 解:①分为个数不相等的6组,整数的个数分别为1、2、3、4、5、6. ②应当将数值大的分在整数个数少的组中.所以,可以如下分组:
10 第一组
9 8 第二组
7 6 5 第三组
4 3 2 1 第四组
0 -1 -2 -3 -4 第五组
-5 -6 -7 -8 -9 -10 第六组
③计算它们的平均值的和:
109?87?6?54?3?2?10?1?2?3?4?5?6?7?8?9?101??????17 12345621答:最大的和是17。
2
11、当m =-5，-4，-3，-1，0，1，3，23，124，1000时,从等式(2m+1)x+(23M)y+1-5m =0 可以得到10个关于x和y的二元一次方程,问这10个方程有没有公共解?如果 有,求出这些公共解. 解:①分别取m =0和m =1,得到两个方程:
?x?2y?1?0 ??3x?y?4?0 先求两个方程的公共解,把它们看作二元一次方程组,解得:x =1,y =-1.
②把x=1,y =-1代入(2m+l)x+(2-3m)y+1-5m,值恒为0.此即意味着: 当m =-5,一4,一3,一1,0,1,3,23,124,1000时,(2m+l)x+(2-3m)y+l-5m=0成立所以, x=1,y =-1是对应的10个方程的的公共解. 答:这些方程的公共解是x=1,y =-1.
第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初一组试卷（答案）
12、平面上有5条直线,其中任意两条都不平行,那么在这5条直线两两相交所成的角中,至少有一个角不超
l2l3过36度,请说明理由.
l1解:①在平面上任取一点。,过O点作已知的5条直线的平行线l1,l2,l3,l4,l5
?5?4 ②将O为中心的周角分为10个彼此依次相邻的小的角,这10个小角的 ?3?600
和恰等于360,所以,至少有一个小角不超过36。 ?2?7l5 ?1?8?9?10
三.解答下列各题,要求写出详细过程
13.如图4,A、B和C是圆周的三等分点,甲、乙、丙 三只蚂蚁分别从A、B 、C三个点同时出发,甲和乙 沿圆周逆时针爬行,丙顺时针爬行.己知甲、乙、 丙三只蚂蚁爬行的速度之比是8:6:5,求出三只蚂蚁 所有的会合地点.
解: ①设圆周周长为3L,甲、乙、丙的速度分别为8ν、6ν、5ν; A
l4②甲第一次追上乙时爬行的时间=甲第一次追上乙时爬行的路程=
LL， ?8v?6v2vL8v?4L 2vL3kL甲第k+1次追上乙时爬行的时间=, ?2v2vL3kL甲第k+1次追上乙时爬行的路程=(?)?8v?L?3?(1?4k)L
2v2v因为3×(l+4k)L是圆周周长的整数倍,所以,甲总在B点追上乙 ③在时刻
B图4CL3kLL3kL3k1,丙爬行的路程=(??)?5v?3L?6kL?(?)L
2v2v2v2v22L3kL当k=1时,上式是(?)?5v?9L?L。因为丙是从C出发顺时针爬行，所以
2v2v丙爬行至B处,意味甲、乙、丙能够在B点会合. 答:甲、乙、丙仅仅在B处或合.
14、己知m，n都是正整数,并且
111111A?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)，
2233mm111111B?(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)
2233nnm?1n?1n ①证明:A?，B?2m2
1，求m和n的值. 261111解:①A?(1?)(1?)(1?)(1?)2233②若A?B?(1?11)(1?) mm