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第二课时 三角函数线及其应用

[提出问题]

在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，过A(1,0)作AT⊥x轴，交终边或其反向延长线于点T.

问题1：根据上面的叙述画出α分别取135°，30°，225°和－60°时的图形． 提示：

问题2：由上面的图形结合三角函数定义，可以得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，

AT的关系吗？

提示：可以，|sin α|＝|MP|， |cos α|＝|OM|，|tan α|＝|AT|. [导入新知] 1．有向线段

带有方向的线段叫做有向线段． 2．三角函数线

图示 正弦线 余弦线 正切线 α的终边与单位圆交于P，过P作PM垂直于x轴，有向线段MP即为正弦线 有向线段OM即为余弦线 过A(1,0)作x轴的垂线，交α的终边或其终边的反向延长线于T，有向线段AT

即为正切线 [化解疑难] 三角函数线的四个注意点

(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；

(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；

(3)正负：三条有向线段中与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．

三角函数线的作法

3π

[例1] 作出的正弦线、余弦线和正切线．

4

3π

[解] 角的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，

43π

垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与的终边的反向延长线交

43π

于点T，则的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.

4

[类题通法] 三角函数线的画法

(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．

(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点

T，即可得到正切线AT.

[活学活用]

9π

作出－的正弦线、余弦线和正切线．

4解：如图所示，

- 2 -

－

9π

的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT. 4

利用三角函数线比较大小 2π4π2π4π2π4π

[例2] 分别比较sin与sin；cos与cos；tan与tan的大小．

353535[解] 在直角坐标系中作单位圆如图所示．以x轴非负半轴为始2π

边作的终边与单位圆交于P点，作PM⊥Ox，垂足为M.由单位圆与

3

Ox正方向的交点A作Ox的垂线与OP的反向延长线交于T点，则sin

2π2π

＝MP，cos＝OM，tan＝AT.

33

2π

3

4π4π4π4π

同理，可作出的正弦线、余弦线和正切线，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan

5555＝AT′.由图形可知，MP>M′P′，符号相同，则sin

2π4π

>sin；OM>OM′，符号相同，则35

2π4π2π4π

cos>cos；AT

3535

[类题通法]

利用三角函数线比较大小的步骤

利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．

[活学活用] 设

πππ3π

<α<，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果<α<，上述长4224

度关系又如何？

ππ

解：如图所示，当<α<时，角α的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT，显然

42在长度上，AT>MP>OM；

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