内容发布更新时间 : 2025/4/9 19:37:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第2讲 等差数列及其前n项和
配套课时作业
1.等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于( ) A.8 C.12 答案 C
3×2
解析 设等差数列{an}的公差为d,由等差数列的前n项和公式,得S3=3×2+d2=12,解得d=2,则a6=a1+(6-1)d=2+5×2=12.故选C.
2.(2019·宁德模拟)等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值是( ) A.20 C.24 答案 C
解析 因为a1+3a8+a15=5a8=120,所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( ) A.63 C.36 答案 B
解析 S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,即9,27,a7+a8+a9成等差数列,∴a7+a8+a9
=54-9=45.故选B.
4.(2019·山东济南调研)已知数列{an}为等差数列,且满足a2+a8=8,a6=5,则其前10项和S10的值为( )
A.50 C.55 答案 B
解析 因为数列{an}为等差数列,且a2+a8=8,所以根据等差数列的性质得2a5=8,所以a5=4,又因为a6=5,所以S10=
B.45 D.40 B.45 D.27 B.22 D.-8 B.10 D.14
a1+a10
2
=a5+a6
2
=45.故选B.
5.(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=54,则a2+a4+a9
=( )
A.9 C.18 答案 C
解析 由等差数列的通项公式及性质,可得
B.15 D.36
S9=
a1+a9
2
=9a5=54,a5=6,则a2+a4+a9=a1+a5+a9=3a5=18.故选C.
6.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于( ) A.30
B.45
C.90 答案 C
D.186
解析 因为a2=6,a5=15,所以a5-a2=3d,d=3,所以{bn}是公差为6的等差数列,其前5项和为5a2+10×6=90.故选C.
7.(2019·福建模拟)设Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,若a5=2b5,则=( )
A.2 C.4 答案 A
B.3 D.6
S9T9
a1+a9
解析 由a5=2b5,得=2,所以=a5b5S9T9
2b1+b92
==2,故选A.
a5b5
8.(2019·洛阳统考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,a3+a10>0,a6a7<0,则满足Sn>0的最大自然数n的值为( )
A.6 C.12 答案 C
解析 ∵a1>0,a6a7<0,∴a6>0,a7<0,等差数列的公差小于零,又a3+a10=a1+a12>0,
B.7 D.13
a1+a13=2a7<0,∴S12>0,S13<0,∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.故选C.
9.(2019·广雅中学模拟)已知等差数列{an}中,a2=2,a4=8,若abn=3n-1,则b2019
=( )
A.2017 C.2019 答案 D
8-2
解析 由a2=2,a4=8,得公差d==3,所以an=2+(n-2)×3=3n-4,所以an2
+1
B.2018 D.2020
=3n-1.又由数列{an}的公差不为0,知数列{an}为单调数列,所以结合abn=3n-1,可得10.已知数列{an}(n∈N)是等差数列,Sn是其前n项和,且S5
*
bn=n+1,故b2019=2020.故选D.
论错误的是( )
A.d<0 B.a7=0 C.S9>S6
D.S6,S7均为Sn的最大值 答案 C
解析 因为S5
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,m≥2,m∈N,则
*
m=( )
A.3 C.5 答案 C
解析 ∵{an}是等差数列,Sm-1=-2,Sm=0, ∴am=Sm-Sm-1=2.
又Sm+1=3,∴am+1=Sm+1-Sm=3, ∴d=am+1-am=1. 又Sm=
B.4 D.6
ma1+am2
=
ma1+
2
=0,
∴a1=-2,∴am=-2+(m-1)·1=2,∴m=5. 12.(2019·苏州模拟)定义:在数列{an}中,若满足
an+2an+1*
-=d(n∈N,d为常数),an+1ana2019
=( ) a2017
则称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中,a1=a2=1,a3=3,则
A.4×2019-1 C.4×2017-1 答案 C
解析 由题意知{an}为等差比数列,=1,=3,-=2,所以?2为公差的等差数列,所以
22
B.4×2018-1 D.4×2017
2
2
a2
a1a3a2a3a2a2a1
?an+1?
?是以1为首项,?an?
an+1a2019a2019a2018
=1+(n-1)×2=2n-1,则=×=(2×2018-ana2017a2018a2017
2
1)×(2×2017-1)=4×2017-1.故选C.
13.在数列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)(n∈N),则a1+a2+…+a51
=________.
答案 676
??0,n为奇数,
解析 ∵an+2-an=?
??2,n为偶数,
n*
∴数列{an}的奇数项为常数1,偶数项构成以2为
首项,2为公差的等差数列,∴a1+a2+…+a51 =(a1+a3+…+a51)+(a2+a4+…+a50)=2625×24??×2?=676. +?25×2+2??
14.(2019·武汉模拟)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当
n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为________.
7??答案 ?-1,-?
8
??
??a8>0,
解析 由题意,当且仅当n=8时,Sn取得最大值,说明?
?a9<0.?
??7+7d>0,
所以?
?7+8d<0.?
所
7
以-1
15.已知等差数列{an}中,an≠0,若n≥2且an-1+an+1-an=0,S2n-1=38,则n等于________.
答案 10
解析 ∵2an=an-1+an+1,又an-1+an+1-an=0, ∴2an-an=0,即an(2-an)=0.
∵an≠0,∴an=2.∴S2n-1=2(2n-1)=38, 解得n=10.
16.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为An与Bn,且满足=则
2
2
2
An7n+1
(n∈N+),
Bn4n+27
a11
的值是________. b11
4答案 3
解析 根据等差数列的性质得:
a1+a21
a112a11a1+a21
===b112b11b1+b21
2A211484
===. b1+b21B2111132
17.(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.
解 (1)设{an}的公差为d,由题意,得3a1+3d=-15. 由a1=-7,得d=2.
所以{an}的通项公式为an=2n-9. (2)由(1),得Sn=n-8n=(n-4)-16. 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.
18.(2019·广东惠州调研)已知数列{an}满足a1=1,an+1=,n∈N.
2an+1
?1?
(1)证明:数列??是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
?an?
2
2
an*
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求使不等式Sn
2n+1数k的取值范围.
解 (1)证明:因为an+1=
an*
an11
,所以=+2. 2an+1an+1anan?1?1
因为a1=1,所以数列??是以1为首项,2为公差的等差数列,所以=2n-1,所以
?an?
an=
1. 2n-1
(2)由bn=,
2n+1
an