内容发布更新时间 : 2024/11/19 10:18:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∵k=3，MP=EF=3PE，∴

MNEF??3， PMPEPNPF??2， ∴

PMPE∴△PNF∽△PME， ∴

NFPN??2，ME∥NF， MEPM设PE=2m，则PF=4m，MP=6m，NP=12m，

①如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与点B重合．过点F作FH⊥BD于点H．

∵∠MPE=∠FPH=60°，

∴PH=2m，FH=23m，DH=10m， ∴

aABFH3???． bADHD5②如图3中，当点N与点C重合，过点E作EH⊥MN于点H．则PH=m，HE?3m，

∴HC=PH+PC=13m，∴tan∠HCE?MBHE3??， BCHC13∵ME∥FC，∴∠MEB=∠FCB=∠CFD， ∵∠B=∠D，∴△MEB∽△CFD，

CDFCaCD2MB23??2，∴???∴， MBMEbBCBC13综上所述，a：b的值为

323或． 51324．（凉山）如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．

（1）求证：BD2=AD·CD；

（2）若CD=6，AD=8，求MN的长．

解：（1）证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°， ∴△ABD∽△BCD，

ADBD?∴， BDCD∴BD2=AD·CD．

（2）∵BM∥CD，∴∠MBD=∠BDC， ∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°， ∴BM=MD，∠MAB=∠MBA， ∴BM=MD=AM=4，

∵BD2=AD·CD，且CD=6，AD=8，∴BD2=48， ∴BC2=BD2-CD2=12， ∴MC2=MB2+BC2=28， ∴MC=27，

∵BM∥CD，∴△MNB∽△CND， ∴

BMMN2??，且MC=27， CDCN3∴MN=47． 525．（舟山）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=a，AD=h，求正方形PQMN的边长（用a，h表示）． （2）操作：如何画出这个正方形PQMN呢？

如图2，小波画出了图1的△ABC，然后按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：先在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使点Q'，M'在BC边上，点N'在△ABC内，然后连结BN'，并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN． （3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：小波把图2中的线段BN称为“波利亚线”，在该线上截取NE=NM，连结EQ，EM（如图3），当∠QEM=90°时，求“波利亚线”BN的长（用a，h表示）． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

解：（1）证明：如图1，由正方形PQMN得PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

NPAEPNh?PN??∴，即， BCADahah解得PN?．

a?h

（3）证明：由画法得，∠QMN=∠PNM=∠POM=90°， ∴四边形PQMN为矩形， ∵N'M'⊥BC，NM⊥BC， ∴NM'∥NM， ∴△BN'M'∽△BNM，

N'M'BN'N'P'BN'?=∴，同理可得， NMBNNPBNN'M'P'N'?∴. NMPN∵N′M′=P′N′，∴NM=PN， ∴四边形PQMN为正方形．

（4）如图2，过点N作NR⊥ME于点R．

∵NE=NM，∴∠NEM=∠NME，

1∴ER=RM=EM，

2又∵∠EQM+∠EMQ=∠EMQ+∠EMN=90°， ∴∠EQM=∠EMN.

又∠QEM=∠NRM=90°，NM=QM， ∴△EQM≌△RMN（AAS）， ∴EQ=RM， ∴EQ=

1EM， 2∵∠QEM=90°，∴∠BEQ+∠NEM=90°， ∴∠BEQ=∠EMB，