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高一立体几何平行、垂直解答题精选

2017.12.18

1．已知直三棱柱ABC-A1B1C1，点N在AC上且CN=3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点.求证：直线PQ∥平面BMN.

2．如图，在正方形ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是棱B1C1，BB1，C1D1的中点，是否存在过点E，M且与平面A1FC平行的平面？若存在，请作出并证明；若不存在，请说明理由.

M，O分别是A1B,BD的中点. 3．在正方体ABCD?A1BC11D1中，

（1）求证：OM//平面AA1D1D； （2）求证：OM?BC1.

4．如图，AB为圆O的直径，点E,F在圆O上，且AB//EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面垂直，且AD?EF?AF?1,AB?2.

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（1）求证：平面AFC?平面CBF；

（2）在线段CF上是否存在了点M，使得OM//平面ADF？并说明理由.

AB?2，N为棱AB的中点． 5．已知：正三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?3，

（1）求证：AC1?平面NB1C．

（2）求证：平面CNB1?平面ABB1A1． （3）求四棱锥C1?ANB1A1的体积．

6．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且

AEAF???(0???1). ACAD（1）求证：不论?为何值，总有平面BEF⊥平面ABC； （2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?

?7．如图，在菱形ABCD中，?ABC与BD相交于点O，AE?平面ABCD，?60,ACCF//AE,AB?AE?2.

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（I）求证：BD?平面ACFE；

（II）当直线FO与平面ABCD所成的角的余弦值为10时，求证：EF?BE； 10（III）在（II）的条件下，求异面直线OF与DE所成的余弦值.

08．如图，四棱锥P?ABCD中，AD//BC，AD?2BC?4，AB?23，?BAD?90，M,O分别为

CD和AC的中点，PO?平面ABCD.

（1）求证：平面PBM?平面PAC；

（2）是否存在线段PM上一点N，使用ON//平面PAB，若存在，求

9．如图，在四棱锥P?ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，?BAD?60?,N是PB的中点，过A,D,N三点的平面交PC于M，E为AD的中点，求证：

（1）EN//平面PDC； （2）BC?平面PEB；

（3）平面PBC?平面ADMN.

10．如图，四棱锥P?ABCD中，PD?平面PAB， AD//BC，BC?CD?PN的值；如果不存在，说明理由. PM1AD，E，F分别为2线段AD，PD的中点.

（Ⅰ）求证：CE//平面PAB； （Ⅱ）求证：PD?平面CEF；

（Ⅲ）写出三棱锥D?CEF与三棱锥P?ABD的体积之比.（结论不要求证明）

?BAD?60?，?PCD是等边三角形，AB?2，PA?22，11．如图，点P是菱形ABCD所在平面外一点，

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M是PC的中点.

（Ⅰ）求证：PA?平面BDM；

（Ⅱ）求证：平面PAC?平面BDM；

（Ⅲ）求直线BC与平面BDM的所成角的大小.

12．在四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE?底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点. （Ⅰ）求证：AO?CD.

（Ⅱ）求证：平面AOF?平面ACE.

（Ⅲ）侧棱AC上是否存在点P，使得BP?平面AOF？若存在，求出

AP的值；若不存在，请说明理由. PC

13．在四棱锥P?ABCD中，侧面PCD?底面ABCD，PD?CD，E为PC中点，底面ABCD是直角

?梯形，AB//CD，?ADC?90，AB?AD?PD?1，CD?2．

（1）求证：BE//平面PAD； （2）求证：BC?平面PBD；

（3）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q?BD?P为45？若存在,求

?PQPC的值；若不存在，请

述明理由．

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参考答案

1．见解析

【解析】试题分析：根据题目给出的P，Q分别是A1B1，BC的中点，想到取AB的中点G，连接PG，QG后分别交BM，BN于点E，F，根据题目给出的线段的长及线段之间的关系证出

GEGF1==，从而得到EF∥PQ，然后利用线面平行的判定即可得证； EPFQ3试题解析：如图，取AB中点G，连接PG，QG分别交BM，BN于点E，F，则E，F分别为BM，BN的中点.而GE∥

1111GE1GFAN1GEGF1AM，GE=AM，GF∥AN，GF=AN，且CN=3AN，所以=，==，所以==，2222EP3FQNC3EPFQ3所以EF∥PQ，又EF?平面BMN，PQ?平面BMN，所以PQ∥平面BMN.

2．详见解析.

【解析】试题分析: 由正方体的特征及N为BB1的中点，可知平面A1FC与直线DD1相交，且交点为DD1的中点G.若过M，E的平面α与平面A1FCG平行，注意到EM∥B1D1∥FG，则平面α必与CC1相交于点N，结合M，E为棱C1D1，B1C1的中点，易知C1N∶C1C＝试题解析:

如图，设N是棱C1C上的一点，且C1N＝C1C时，平面EMN过点E，M且与平面A1FC平行．

1.于是平面EMN满足要求． 4

证明如下：设H为棱C1C的中点，连接B1H，D1H. ∵C1N＝C1C， ∴C1N＝C1H. 又E为B1C1的中点， ∴EN∥B1H. 又CF∥B1H， ∴EN∥CF.

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