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北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数

2018．5

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

2（1）已知集合A?{x?R2x?3?0}，集合B?{x?Rx?3x?2?0}，则AB?

（A）?xx???3??3? （B）x?x?2??? 2??2?（C）x1?x?2 （D）?x???3??x?2? ?2?开始 输入a i=0 a=2a+3 i=i+1 否 （2）如果a?b?0，那么下列不等式一定成立的是

（A）log3a?log3b （B）()?() （C）

14a14b11

? （D）a2?b2 ab

（3）执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为2，则输入的正整 数a的可能取值的集合是 （A）?1,2,3,4,5? （B）?1,2,3,4,5,6? （C）?2,3,4,5? （D）?2,3,4,5,6?

a >13? 是 输出i 结束 π（4）已知函数f(x)?Asin??x???(A?0,??0,??)的

2部分图象如图所示，则??

（A）?（C）?

（5）已知命题p：复数z?则下列

y2π? （B）

66ππ （D）

33Oππ123-2x1?i在复平面内所对应的点位于第四象限；命题q：?x?0，x?cosx，i（A）(?p)?(?q) （B）(?p)?q （C）p?(?q) （D）p?q

y222（6）若双曲线x?2?1(b?0)的一条渐近线与圆x?(y?2)?1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值

b2范围是

（A）(1,2] （B）[2,??) （C）(1,3] （D）[3,??) （7）某工厂分别生产甲、乙两种产品1箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示．

煤（吨） 电（千度） 纯利润（万元） 1箱甲产品 1箱乙产品 3 1 1 2 1 1 若生产甲、乙两种产品可使用的煤不超过120吨，电不超过60千度，则可获得的最大纯利润和是 （A）60万元 （B）80万元 （C）90万元 （D）100万元

（8）如图放置的边长为1的正△PMN沿边长为3的正方形ABCD的各边内侧逆时针方向

滚动．当△PMN沿正方形各边滚动一周后，回到初始位 置时，点P的轨迹长度是 （A）

DC8?16? （B） 33

（C）4? （D）??

MA(P)NB

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

（9）已知平面向量a，b满足a?1，b?2，a与b的夹角为60?，则2a?b?____． （10）(1?2x)的展开式中x项的系数为___．（用数字表示）

（11）如图，AB为圆O的直径，AB?2,过圆O上一点M作圆O的切线，交AB的延长线于点C，过点M作MD?AB于点D，若D是OB中点，则AC?BC=_____．

（12）由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是 ；表面积是 ．

253

（13）已知数列

AODM（第11题图）

BC2正视图侧视图{an}的前n项和

为Sn，且满足

2Sn?2an?4(n?N?)，

则

2俯视图an? ；

数列{log2an}的前n项和为 ． （14）若存在正实数M，对于任意x?(1,??)，都有

函数f(x)在(1,??) 上是有界函数．下列函数

（第12题图）

f(x)?M，则称

1xlnx； ②f(x)?2； ③f(x)?； ④f(x)?xsinx， x?1x?1x其中“在(1,??)上是有界函数”的序号为 ．

①f(x)?三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A???，b?3，△ABC 3的面积为153． 4（Ⅰ）求边a的长； （Ⅱ）求cos2B的值．

（16）（本小题满分13分）

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段?75,80?，?80,85?，?85,90?，

?90,95?，?95,100?（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计

从全市高中学生中任意选取一人，其参 加社区服务时间不少于90小时的概率；

频率 （Ⅱ）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记?为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量?的分布列和数学期望E?．

（17）（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD?底面ABCD，E，F分别为PA，

0.020 0.005 O 0.075 0.060 0.040 组距 75 80 85 90 95 100 BD中点，PA?PD?AD?2．

（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC； （Ⅱ）求二面角E?DF?A的余弦值； （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点G，使

服务时间/小时

PEADFBCGF?平面EDF？若存在，指出点G的

位置；若不存在，说明理由．

（18）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?e2x?1?ax?1，a?R．

（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线x?ey?1?0垂直，求a的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；