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《二次函数》单元知识点复习

注：请同学们先复习后填空、填表 赵化中学 郑宗平

第一部分 二次函数的图象及其性质

知识点：

1.二次函数的定义：形如 （a、b、c为常数，且a?0）的函数. 注意

四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.各项名称. 2.二次函数的图象：

二次函数的图象是一条 ；是 对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：

①.抛物线y?ax2?a?0?的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 .最值．．：当a?0，x?0时，y取最 值为 ；当a?0，x?0时，y取最 值为 .

②.抛物线y?ax2?k?a?0?的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 .最值．．：当a?0，x?0时，y取最 值为 ；当a?0，x?0时，y取最 值为 . ③.抛物线y?a?x?h?2?a?0?的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．

：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 .最值．．

：当a?0，x?h时，y取最 值为 ；当a?0，x?h时，y取最 值为 . ⑵.配方形式（也称顶点式）：y?a?x?h?2?k?a?0?

抛物线y?a?x?h?2?k?a?0?对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．

：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．

：当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ；当a?0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而 .最值．．

：当a?0，x?h时，y取最 值为 ；当a?0，x?h时，y取最 值为 . 若把抛物线y?ax2?a?0?进行平移： ①.向 平移k个单位可以得到y?ax2?k?a?0?；

九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 1页（共 6页）

②.向 平移h?h?0?个单位可以得到y?a?x?h?2?a?0?；

③.向 平移h?h?0?个单位，再 移h?h?0?个单位可以得到y?a?x?h?2?k?a?0?.

⑶.一般形式：y?ax2?bx?c?a?0?

第二部分 求二次函数的解析式问题

知识点：

1.待定系数法的一般步骤:

设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2.常见的求二次函数解析式的方法和途径：

⑴.一般式（常用） ①.设出二次函数的一般式为：y?ax2?bx?c?0?a?0?；

②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；

③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式（常用）

①.设出二次函数的顶点式为：y?a?x?m?2?n?a?0?； 第 2页 （共 6页）

②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为?a,b?，则m??a,n?b； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式（一般掌握）

①.设出二次函数的一般式为：y?a?x?x1??x?x2??a?0?；这里的x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标；

②.代入x1、x2和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式（常用）

①.设出二次函数的特殊式：

若顶点为原点可设为y?ax2?a?0?的形式；若顶点在y轴上可设为y?ax2?k?a?0?的形式；若顶点在x轴上可设为y?a?x?h?2?a?0?的形式；

②.代入条件构成方程或方程组；

③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式（常用）

平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：

①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如y?a?x?m?2?n?a?0?；

②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a值不变化，其上下左右平移的规律是：

若左右平移k?k?0?单位：向右平移则在m数据上减去k?k?0?，向左平移则在m数据上加上k?k?0?；

若上下平移h?h?0?单位：向上平移则在n数据上加上h?h?0?，向下平移则在n数据上减去h?h?0?.

对于配方书写式的口诀是：自变量“左加右减”，函数值“上加下减”； 顶点坐标的变化规律是：横坐标“右加左减”，纵坐标是“上加下减”. ⑹.对称式（了解）

①.抛物线关于x轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.

②.抛物线关于y轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.

第三部分 二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：

1..二次函数与一元二次方程的关系：

九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 3页（共 6页）

已知一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?，设抛物线y?ax2?bx?c?a?0?.

⑴.△（b2?4ac）?0 ? 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x轴有两个不同的交点. ⑵.△（b2?4ac）?0 ? 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△（b2?4ac）?0 ? 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x轴无交点. ⑷.△（b2?4ac）?0 ? 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系（本部分是拓展，作为一般掌握.） 已知一元二次不等式ax2?bx?c?0?a?0?或ax2?bx?c?0?a?0?，设抛物线y?ax2?bx?c?a?0?，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.

⑴.当a?0时：

①.若抛物线与x轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a?0时：

①.若抛物线与x轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ② .若抛物线与x轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.

第四部分 利用二次函数的解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.主要有：1.利用二次函数解决面积问题；2.利用二次函数解决利润等代数问题；题目三：利用二次函数解决抛物线形问题.

关于二次函数求“最值”的应用题

基本环节：

找出相关的数量关系 → 构建二次函数 → 利用二次函数的最值解决实际问题.

主要题型：

1.求最大面积

⑴.相关几何图形的面积公式，几何图形之间面积的和差关系； ⑵.注意用同一个未知数（自变量）表示相关线段的长； ⑶.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度. 2.求高度、长度的“最值”

⑴.直接建立函数关系解决高度、长度的“最值”； ⑵.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度 3.求最大利润

⑴.总利润=单件利润× 实际件数；

⑵.注意因“涨价”、“降价”等引起的单件利润和实际件数的变化

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九数上期《二次函数》单元知识复习提纲

2018.10.21整理

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