内容发布更新时间 : 2024/12/25 12:20:13星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?12345??12345?16.用循环置换的方法写出5次对称群S5的元?1??和??2???,

?54321??32541?并计算?1?2，?1?1?22，?2?1?1?2. 解: ?1?(15)(24)，

?2?(135)，

?1?2?(53)(24), (或?1?2???)

?14523??12345????(35)(24)(135)?(13)(24),（或??2?1212?112?12345????） 34125???12345??2?1?1?2?(135)(35)(24)?(15)(24). （或?2?1?1?2???） ?54321?17.求出模48的剩余类加群Z48的所有子群.这些子群是否是不变子群? 解: 因为Z48为循环群,所以Z48为交换群,

又因为48的所有正整数因子为：1，2，3，4，6，8，12，16,24，48. 所以模48的剩余类加群Z48的所有子群为循环子群：

([1]), ([2]),([3]),([4]), ([6]), ([8]), ([12]), ([16]), ([24]), ([0]). 并且这些子群都是不变子群. 1. 设群G中元a的阶为n，试证：am?e当且仅当n|m. 证明: 必要性:

设m?nq?r, 其中q,r为整数, 0?r?n, 那么有am?anq?r?(an)qar?ar?e, 由a的阶为n知r?0,即n|m. 充分性:

由n|m可设m?nq, 其中q为整数, 那么有am?anq?(an)q?eq?e,

8.若群G的每一个元都适合方程x2?e，那么G是交换群. 证明: 任取a,b?G, 可知a2?e，b2?e，(ab)2?e,

所以 a?a?1,b?b?1,

ab?(ab)?1?b?1a?1?ba

所以G是交换群.

9.证明: 一个循环群必是一个交换群.

证明: 设循环群G?(a)，任取ak,al?G，则有

akal?ak?l?alak

所以循环群G是交换群. 12. 证明：有限群中元的阶都有限.

证明: 设G是一个有限群，对任意的a?G，则元

,a?4,a?3,a?2,a?1,a0?e,a1,a2,a3,a4,

都是G中元，且其中一定有相同元.

不妨设aj?ai,j?i，则有aja?i?aia?i，即aj?i?e. 由j?i?0且为有限正整数得a的阶为有限.

13. 证明: 阶为素数的群一定是循环群,且群中任意元都可作为群的生成元. 证明: 设G是一个阶为素数p的有限群,

则对任意的a?G,G的循环子群(a)?{e,a1,a2,a3,,ap}有p个不同的元,

所以G?(a)为循环群, 且群中任意元都可作为群的生成元.

1、设a,b是群G中的元素，且|a|?2，|b|?5，则|ab|?10。 (√ ) 2、法则a?b?a?b?ab不是自然数集N上的一个代数运算。(√)

3、设集合M?{1,2,?,n}，则M上所有对换作成的集合是n次对称群Sn的一个生成系。(√)

4、设M是实数集，规定：a?b?ab?0，则?是M上的一个等价关系。( × ) 5、交换群中任意两个子群的乘积仍是子群。(√)

7、设a是循环群中一个元素，则?as???at?当且仅当s??t。(×)

8、若|X|?|Y|，则X到Y的映射?是满射当且仅当?是单射。(×)

?1234567?3、试求置换?1?(13479)(23)，?2?(135)(2468)，?3???3751264??的

??阶。

4、任意集合上自身到自身的映射称之为置换。(×) 5、有限群中的元素的阶一定都有限。(√)

3、在群G中设|a|?k，则对任意整数s，|as|? 。 4、设h?(i1i2ik)是Sn的一个k?循环，则h?1? 。

?12345??12345??11、在S5中，令f??，，计算。 fgfg?????23154??13452?1、设G是交换群，n?0为整数，令H?{a?G|an?e}，证明：H是G的子群。 1、在整数集Z中，令ab?a?b?2。证明：Z关于乘法“”构成一个群。

4、设G??a?是一个6阶循环群，则G有 个生成元，有 个子群。 2、设G是一个群，证明：G是交换群的充要条件是，对?a,b?G，都有

(ab)2?a2b2。