内容发布更新时间 : 2024/11/17 19:21:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

⑴ f??m1gcos?，摩擦力随?增大而减小； ⑵ T?0 ⑶ a?2gsin?，加速度a随?增大而增大。 3第三章

1 半径为R，质量为M，表面光滑的半球放在光滑水平面上，在其正上方置一质量为m的

小滑块。当小滑块从顶端无初速度地下滑后，在示?角位置处开始脱离半径。已知cos??0.7，

m m R 图求

Mm??

解：水平方向动量守恒，设到达?角位置处m的速度为?，M的速度为V, 则

? 题图4.4 M 相对M

m???cos??V??MV?0

按机械能守恒

mgR?1?cos???脱离半径时满足

111m?V??cos??2?m??sin??2?MV2 222mgcos??m解得

?2R

M?2.43 m2 质量为M 的均匀细杆长l ，可绕过一端的水平轴自由转动，如题图4.5。今自水平位置由静止开始自由下摆，至铅直位置时，杆的下端与水平台面上一质量为m 的静止物体发生完全非弹性碰撞。求碰撞后

⑴． 细杆上摆最大的位置；

⑵． 物体滑行的最大距离（设摩擦力与速率成正比，比例系数k>0 ）。

解：细杆下摆过程中，细杆和地球系统机械能守恒。 设碰撞前角速度为?，则有

题图4.5

11?1?Mgl??Ml2??2 22?3?碰撞过程M和m系统对转轴的角动量守恒，设碰撞后细杆M的角速度为?0，物体m的速度为?0，则有

121Ml??m?0l?Ml2?0 33且

?0?l?0

解得

?0?M3glM3gl，?0?

3m?M?3m?M?l⑴ 细杆上摆过程中，细杆和地球系统机械能守恒，设上摆最大角度为?，则

1?12?21?Ml??0?Mgl?1?cos?? 2?32?解得

??M?2???arccos?1????

??3m?M??⑵ 物体滑行过程

f??k? m?d???k? dtt?0?d?k???dt ?m0???0e滑行的距离

?k?tm

S???dt???0e0k?tmdt?m?0 k即

S?

mM3gl k?3m?M?3长l质量M的均匀细杆平置于水平桌面上，一半长度探出桌沿外，如题图4.15。一质量为m的弹性小球自杆外端正上方由静止自由下落。试问，小球碰撞杆外端后他们的运动状态如何？

解：

?1?2gh ll1?m?2?Ml2? 221212121m?1?m?2?Ml2?2 2224m?1解得

m h l 0.5l 题图4.15

M 12m2gh??

3m?Ml???2?讨论： 当3m当3m3m?M3m?M2gh ?M，?2?0，碰撞后速度为0； ?M，?2?0，碰撞后速度向下； M，?2?0，碰撞后速度向上。

当3m?第四章

1如题图3.6所示，质量为m的均匀刚性柔绳长l，与水平桌面的摩擦系数为?，自桌面边缘挂下的一段长度为a。今由静止开始下落，试求该绳刚离开桌面时的下落速度。

解：设下挂长度为y时，再下落dy，

a mgy???l?y??dy ???ldA?l题图3.6

mg12y??l?ydy?m? ???????l2a解得 ??

2质点自球面的顶端从静止开始下滑，球面的半径为R，参见题图3.8。设球面与质点间的摩擦可以忽略，试求质点离开顶端的高度h为多大时开始脱离球面。

解：脱离球面时正压力为零，即

g?222??l?a??l?a?????l?g ??l?a??l?a??l??a????lR?h?2mg?m

RR12机械能守恒 mgh?m?

2R解得 h?

3

h R 题图3.8

3 细线吊着质量为M的大圆环，质量均为m的两小圆环套在大圆环上，可以自由滑动，如题图3.9所示。若两小圆环同时自大圆环顶端由静止开始沿相反方向下滑，试求下滑过程中?角为何值时大圆环刚好能升起。

解：设大圆环的半径为R，则

m m mgR?1?cos???1m?2 2θ θ mgcos??N?m?2R

M 题图3.9

2Ncos??Mg

得 6mcos??4mcos??M?0 则

21?1?cos??即

33M2m