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泰勒公式及其应用
摘要：泰勒公式是数学分析中的重要内容，集中体现了微积分中“逼近法”的思想，在理论分析和实际应用中经常涉及。本文首先阐述了泰勒公式的定义和基本内容，然后在基本概念的基础上举例实证，探讨了泰勒公式在求极限，级数收敛，定积分，近似计算，根的存在性，函数的凹凸性及拐点，行列式计算这几个方面的应用与技巧。通过这几个方面的研究，使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使一些问题得到更好的解答。 关键词：泰勒公式；导数；极限；近似计算
Taylor Formula and It”s Applications
Abstract:Taylor Formula is a very important content of mathematical analysis, it can intensively embody the soul of “approximation“ of calculus, and it is extensively applied in the theoretical analysis and practical application. Firstly, this paper states the definition and primary content about it, then discusses its applications and skills in some aspects by enumerating examples basing on the concept, such as limitation, series convergence, definite integral, approximate calculation, existence of roots, concavity and convexity of function, flecnode of function, determinant calculation. Through the study of the aspects above, this paper aims to form the special thoughts in special situations, and enable us to solve the problem more efficiently. Keyword: Taylor formula;derivative;limit;approximately considerations
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目录
1 引言 ????????????????????????????? （1） 2 泰勒公式的基本理论 ?????????????????????? （1） 2.1 泰勒公式的定义 ?????????????????????? （1） 2.2 泰勒公式的类型 ?????????????????????? （2） 3 泰勒公式的应用 ………………………………………………………………（4） 3.1 利用泰勒公式判断级数敛散性 ?????????????????（4） 3.2 利用泰勒公式求极限 ?????????????????????（5） 3.3 利用泰勒公式求近似值 ????????????????????（6） 3.4 利用泰勒公式证明不等式 ???????????????????（7） 3.5 利用泰勒公式研究函数的性质 ?????????????????（8） 3.6 利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 ????????????（9） 4 结论 ……………………………………………………………………………（10） 参考文献 …………………………………………………………………………（12）
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泰勒公式及其应用
1 引言
1715年，泰勒在其著作《正的和反的增量方法》中首先提出了著名的泰勒公式：
f(x)?f(x0)?f?(x0)?(x?x0)?f??(x0)/2!?(x?x0)2?...?f(n)?(x0)/n!?(x?x0)n当x?0时变称作麦克劳林公式。1772年，拉格朗日强调了这条公式的重要性，而且称之为微分学基本定理，但是泰勒在证明中并没有考虑级数的收敛性，因而使证明不严谨，直到十九世纪二十年代才由柯西完成。
在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。那么一个函数只有什么条件才能用多项式函数近似代替呢？这个多项式函数的各项系数与这个函数有什么关系呢？用多项式函数近似代替这个函数误差又怎么样呢？
通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是微积分学中的重要内容，在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明等方面，泰勒公式是有用的工具
2 泰勒公式的基本理论
2.1泰勒公式的定义
我们在学习导数和微分概念时已经知道，如果函数f在点x0处可导，则有
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??(x?x0)
即在点x0附近，用一次多项式f(x0)?f?(x0)(x?x0)逼近函数f(x)时，其误差为
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