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高等数学(一) 教学大纲

课程代码：

课程名称：高等数学(一) 周 学 时：6 学 分：10

一．课程性质与教学目的

1．课程性质：全校公共数学基础课 2．教学目的：

高等数学课程是高等学校各专业学生一门必修的重要的基础理论课。通过本课程的学习，要使学生获得极限、一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数（包括傅里叶级数）、常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 二．课程的基本要求

通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。 三．教学内容

1 、函数、极限、连续

1) 理解函数的概念，掌握函数的表示方法。

2) 了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3) 理解复合函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4) 掌握基本初等函数的性质及其图形。 5) 会建立简单应用问题中的函数关系式。

6) 理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念，以及极限存在与左、右极

限之间的关系。

7) 掌握极限的性质及四则运算法则。

8) 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限

求极限的方法。

9) 理解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。 10) 理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。

11) 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理

和介值定理），并会应用这些性质。 计划学时：18

2、一元函数微分学

1) 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程

和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。

2) 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数

公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用。

3) 了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数。 4) 会求分段函数的一阶、二阶导数。

5) 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的

导数。会求一些简单实际问题的相关变化率问题。 6) 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理。 7) 了解柯西中值定理和泰勒定理。

8) 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，

掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

9) 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直

渐近线，会描绘函数的图形。

10) 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

11) 了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径，会求两曲线的交角。 12) 了解求方程近似解的二分法和切线法。 计划学时：34

3、一元函数积分学

1) 理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念，理解定积分中值定理。 2) 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及换元积分法与

分部积分法。

3) 会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。

4) 理解变上限定积分是其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿—莱布尼茨公

式。

5) 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 6) 了解定积分的近似计算法。

7) 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲

线的弧长、旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）。 计划学时：48

4、向量代数和空间解析几何

1) 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2) 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），了解两个向量垂直、平行

的条件。

3) 掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达

式进行向量运算的方法。

4) 掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、

垂直、相交等）解决有关问题。

5) 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴

为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

6) 了解空间曲线的参数方程和一般方程。

7) 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 计划学时：18

5、多元函数微分学

1) 理解多元函数的概念。

2) 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭域上连续函数的性质。 3) 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。 4) 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5) 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

6) 会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7) 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8) 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，

了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题。 计划学时：20

6、多元函数积分学

1) 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中

值定理。掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、*球面坐标）。

2) 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关

系。

3) 掌握计算两类曲线积分的方法。

4) 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原

函数，

5) 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲

面积分的方法，了解高斯公式、斯托克斯公式，会用高斯公式计算曲面积分。

6) *了解散度与旋度的概念，并会计算。

7) 会用重积分、曲线积分及曲面积分，求一些几何量与物理量（平面图形的

面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。 计划学时：28

7、无穷级数

1) 理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性

质及收敛的必要条件。

2) 掌握几何级数与p-级数的收敛性。

3) 会用正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4) 会用交错级数的莱布尼茨定理。

5) 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关

系。

6) 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7) 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8) 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间

内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。 9) 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10) 掌握ex，sinx，cosx，ln(1?x)和(1?x)m的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11) 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

12) 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定

义在[?l,l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0,l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。 计划学时：14

8、常微分方程

1) 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。 2) 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

3) 会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微

分方程。 4) 会用降阶法解下列方程：y?n??f(x)，y???f(x,y?)，y???f(y,y?)。 5) 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。

6) 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数

齐次线性微分方程。

7) 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与

积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8) 会用微分方程（或方程组）解决一些简单的应用问题。 计划学时：12 注： 1．本课程基本要求的高低用不同的词汇加以区分，对概念、理论从高到低用“理解”、“了解”二级区分；对运算、方法从高到低用“掌握”、“会”或“能”二级区分。

2．本课程学分为10，周学时6，课内学时192。 四．参考书目：

1.同济大学应用数学系主编.高等数学（第五版）.北京：高等教育出版社，2002

2.王宪杰等.高等数学典型应用实例与模型. 北京：科学出版社，2005 3.萧树铁等.大学数学（第2版）微积分.北京：高等教育出版社，2003 4.刘建亚.大学数学教程—微积分.北京：高等教育出版社，2003 5.张荫南、童裕孙等.高等数学.北京：高等教育出版社，2000

6.孙振绮等.工科数学分析基础.北京：机械工业出版社，2003 7.上海交通大学等.高等数学：多元微积分及其教学软件.北京：科学出版社，1999 8.王绵森、马知恩.工科数学分析基础.北京：高等教育出版社，1999 9.侯云畅.高等数学.北京：高等教育出版社，1999 10.陈庆华.高等数学.北京：高等教育出版社，1999

高等数学(一) 课程简介

课程名称：高等数学(一) 课程代码： 课程内容：

本课程内容为函数、极限、连续；一元函数微分学；一元函数积分学；向量

代数与空间解析几何；多元函数微分学；多元函数积分学；无穷级数；常微分方程。 修读对象：

本课程适合下列专业的一年级学生：1．工学门类的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等一级学科中所有的二级学科、专业。2．工学门类的材料科学与工程、化学工程与技术、地质

资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业。3．管理学门类中的管理科学与工程一级学科。