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浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题

考试科目：高等代数 科目代号：341

注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！

一、(15分)矩阵A,B具有相同的行数，把B的任意一列加到A得到矩阵秩不变，证明:把B的所有列同时加到A上秩也不变.证明:法一：取A的列向量的极大线性无关组，那么知道B的任何列都可以由这些向量线性表出，从而得结论。（?行秩法二：rankA?列秩?矩阵的秩）

?rank(A,bi)??xA?0?x(A,bi)?0?而x(A,B)?0?x(A,bi)?0,?i?xA?0?rankA?rank(A,B)

二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按x的幂次排列的多项式a11?xD?a21?x...an1?xa12?xa22?x...an2?x............a1n?xa2n?x...ann?x(2)把行列式D的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余 子式之和不变.证明：a11?x(1)D?a21?x...an1?xa11?a21?a11...an1?a111?A?xa21?a11...an1?a11a12a22?a12...an2?a12a12?xa22?x...an2?x............1a22?a12...an2?a12............a1n?xa2n?x...ann?xa1na2n?a1n...ann?a1n............1a2n?a1n...ann?a1n?A?x??a11?xa21?a11...an1?a11xa21?a11...an1?a11xa22?a12...an2?a12a12?xa22?a12...an2?a12........................xa2n?a1n...ann?a1na1n?xa2n?a1n...ann?a1n1?i,j?n?AijA?(aij)n?n,Aij为A中aij的代数余子式。 1

Lemma:1a21?a11...an1?a1110?1...1a111a21...an11a22?a12.........1...10?1...101a21?a11...an1?a1101a22?a12...an2?a12.........01...ann?a1n...a2n?a1n...a2n?a1nan2?a12...ann?a1na121a22......a1n......1...a2n...依第一列和第二行展开1?i,j?n?Aij.(参考中科大课本P89习题5。)

an2...ann(2)只需说明D的代数余子式(Dij)之和与x无关即可。101?i,j?na11?x1...a12?x...a1n?x1.........1...10...1a111a21...an1a121a22......a1n......1... ...a2n,得证。?Dij?1...1a21?xa22?x...a2n?x?1an1?xan2?x...ann?xan2...ann三、(15分)证明下面的(i)和(ii)等价：(i)矩阵A是正交矩阵；(ii)矩阵A的行列式为?1；当A?1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当A?－1时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.证明：对n阶矩阵A，设A的伴随矩阵为A*，我们有AA*?detA?In(i)?(ii)，AA'?In?(detA)2?1?detA??1；且A*?detA?A'，也就是矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以detA.(ii)?(i)，由矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以detA，detA??1?A*?detA?A'?detA?In?detA?AA'?AA'?I?A是正交矩阵.

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?ab?2四、(15分)(1)设矩阵A??,则矩阵A满足方程x?(a?d)x?ad?bc?0;??cd?(2)二阶矩阵满足Ak?0,k?2,则A2?0.证明：(1)A的特征多项式?(?)为:?(?)??I2?A???a?c?b??d??2?(a?d)??ad?bc,又?(A)?0

故A满足方程x2?(a?d)x?ad?bc?0;?ab?(2)设矩阵A???,?cd?Ak?0也就是A满足方程xk?0,由(1)：x2?(a?d)x?ad?bcxk?a?d?0,ad?bc?0,由(1)，A满足方程x2?0，也就是A2?0.?322??010?????五、(15分)设矩阵A??232?,P??101?,B?P?1A*P?2E,求B的特征值?223??001?????和特征向量.?01?1??5?2?2??900???????解：P?1??100?,A*???25?2?,?B???27?4??001???2?25???2?25???????00????9?2?I?B??2??74?(??9)(??3),特征值?1??2?9,?3?3;???22??5????0???2?????属于9的特征子空间为：V9?{v|Bv?9v}?F??2??F?0?,?1??1??????0???属于3的特征子空间为：V3?{v|Bv?3v}?F??1?，?1???（特征向量为相应特征子空间的非零向量）。六、(15分)设W,W1,W2是向量空间V的子空间，W1?W2,W1?W?W2?W,W1?W?W2?W,证明W1?W2.证明：由维数定理dim(Wi?W)?dimWi?dimW?dim(Wi?W),i?1,2.而W1?W?W2?W，故dimW1?dimW2,又W1?W?W1?W2.

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七、(15分)三阶矩阵A,B,C,D具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.证明：列举出三阶方阵X所有可能的Jordan标准型如下，1)X有三个不同的特征值?1,?2,?3，则Jordan标准型必为：diag(?1,?2,?3)；2)X有两个不同的特征值?（两重）,?2,则Jordan标准型为：1??11??? diag(?1,?1,?2)，或者 ??1?；??2???3)X有只有一个特征值?1,则Jordan标准型为：??11???11????? diag(?1,?1,?1)， ??1 或者 ?11???；?????? 1?1???从而四个具有相同特征多项式的三阶方阵必有两个方阵的Jordan标准型相同故相似.

八、(15分)设?是向量空间V的正交变换，W是?的不变子空间，证明W?也是?的不变子空间.证明：设dimV?n,dimW?r.分别取W和W?的单位正交基：?1,?2,??r和?r?1,?r?2,??n,则?1,?2,??n,为V的标准正交基，则?在这组基下的方阵O应为正交阵,又W是?的不变子空间,故可设O为Z??XZ??X'0?,OO'?I?n??????In?YY'?In?r,YZ'?0?Z?0Y?0YZ'Y'?????X0??从而O???,故W也是?的不变子空间.?0Y?

?XO???0 4

九、(15分)设A为实矩阵，证明存在正交矩阵G，使G?1AG为上三角矩阵的充要条件是A的特征值均为实数.证明：必要性显然。(?)对A的阶数n进行归纳：n?1时显然成立；设n?k时充分性成立，那么n?k时：设属于A的特征值?1的单位特征向量为?1,把?1扩充成标准正交基(?1,?2,?,?n),令O?(?1,?2,?,?n),则O为正交阵。且??????1??AO?(A?1,A?2,?,A?n)?(?1,?2,?,?n)?1?O???0A0A?1??1?其中?为n?1维行向量，A1为n?1阶实方阵而且特征值均为实数，－1由归纳假设，存在n?1阶正交阵O1使得O1A1O1为上三角阵?10?令G?O??则0O?1??10??1?10??10???1G?1AG??OAO?????1??1???0O1??0O1??0O1??0为上三角方阵。

0???1?O1???????A1??0O1??0O1?1A1O1????1

十、(15分)设P为数域，fi?fi(x)?P[x],gi?gi(x)?P[x],i?1,2,证明:(f1,g1)(f2,g2)?(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2)证明：设(f1,g1)?d1,(f2,g2)?d2?di|fi,gi,i?1,2且有fi?aidi,gi?bidi,则(ai,bi)?1,i?1,2,d?(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2)?(a1d1a2d2,a1d1b2d2,b1d1a2d2,b1d1b2d2)?d1d2(a1a2,a1b2,b1a2,b1b2)。 令(a1a2,a1b2,b1a2,b1b2)?d',则d'|(a1a2,a1b2)?a1(a2,b2)?a1,且d'|(b1a2,b1b2)?b1(a2,b2)?b1?d'|(a1,b1)?1?d'?1,从而d?d1d2d'?d1d2?(f1,g1)(f2,g2)

注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16

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