内容发布更新时间 : 2024/12/24 9:54:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

黎曼积分和勒贝格积分的比较

摘 要：本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别与联系，通过两者的定义、被积函数的连续性，有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势，同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广，但是却不是黎曼反常积分的推广。

关键词：黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。

Riemann integral and the Lebesgue integral

Abstract : In my thesis, based on the knowledge of the Riemann integral and the Lebesgue integral, we want to explore and summarize the difference and connection between the Riemann integral and the Lebesgue integral. Through the definition of both items, the continuity and boundedness of the integrand, the convergence condition, the intermediate value theorem, absolute Integrability and the comparison of the broad sense of Riemann integral and the Lebesgue integral, It shows Lebesgue integral has some advantages in the treatment of some difficult problems on Riemann integral, and also pointes out that the Lebesgue integral is an important generalization of Riemann integral, and it is not the promotion of Riemann anomalous integral.

Keywords: Riemann integral, Lebesgue integral, continuity, boundedness.

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1引言

黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。虽然莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分，而且还给出了定积分的相关论述，但是现在我们所学习的教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼积分给出来的。勒贝格积分是黎曼积分非常重要的推广，勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于前者是对函数的函数值的区域进行定义区分，而后者是对函数定义域进行定义划分。这两种积分既有联系又有区别，通过对这两种积分的对比研究，可以让我们加深对积分理论及应用的更多理解。

研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要，所以以下我们将对这些问题进行一一深入探讨与研究。

2积分理论的发展

在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。黎曼在柯西的基础上对“基本上”连续的函数积分进一步给出了相关定义。很早之前人们运用黎曼积分来进行计算曲边形的面积、物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很方便的。但是随着深入的认识，人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数，和两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在谈论它们的可积性、可微性、连续性时，经常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题，通常只有在很强的假定下（一致收敛）才能对这种问题作出确定性的回答。所以，人们在理论和使用上都急切的想要建立一种新的积分，它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观上具有有效性，又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。这就需要对黎曼积分概念进行改良。把积分学推向进步的是勒贝格，他在1902年成功引进一种新的积分——勒贝格积分，同时还引入了一门新的数学分支学科——实变函数论。

勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数，1872年，康托提出集合论，引进了点集的概念，间断点可以看做一个整体进行考察，这样子就为间断点与可积性关系的探究提供了办法，勒贝格在原来的基础上推广了长度，建立点集测度的概念，与此同时，定义了内测度m?(E)和外测度m?(E)，如果m?(E)?m?(E)时，我们称E为可测集，并称内测度和外测度的公共值I为点

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集E的测度。勒贝格的测度概念把黎曼可积函数类变得非常的了然。勒贝格又把可测集上的函数定义为可测函数，那么E是一有界可测集，f(x)是定义在E上的实函数，如果对任一实数a，点集E?{x:f(x)?a}还是勒贝格可测集，则f(x) 是E上的可测函数。容易知道，可测函数不是连续函数的简单推广，它是在测度论基础上构造出来的，但它能把连续函数、可导函数、单调函数作为特例加以概括。能够证明，区间上的任意连续函数都是可测函数，狄利克雷函数则是不连续的可测函数。利用可测函数，在研究黎曼积分的定义方式后，考虑到由于间断点所造成的振幅过大的困难，勒贝格大胆地改变了对黎曼积分作函数定义域分割的方法，而采用对函数值域分割的方法，从而寻求到“缩小”振幅，消除间断点困难的简单、巧妙而富有哲理性的逆向思维方式。并在点集论、测度论、可测函数等已有基本概念上创建一种新的积分类型——勒贝格积分。彻底解决了黎曼积分自身局限性所造成的各种困难问题，定义了他自己的积分概念。这两种积分既有区别又有联系，通过对这两种积分的对比研究，能让我们加深对积分理论及应用的理解。

3黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

3.1 黎曼积分

黎曼积分是为了处理计算平面上封闭曲线围成图形的面积问题而产生的,它是从划分闭区间?a,b?上着手,利用极限想法来进行定义的。

定义1 设函数f(x)在?a,b?上有以下定义。随意给?a,b?一个划分T：

a=x0?x1???xn=b，k?1,2,?,n。然后在所有小区间?xk?1,xk?上任意取一点?k，

记区间?xk?1,xk?的长为?k=xk?xk?1，令l(T)?max{?k:k?1,2,?,n}。作积分和 为?n??f(?k)?k。假设当l(T)?0时，那么积分和?n的极限是I，即

k?1nl(T)0lim?n?lim?f(?k)?k?I，且数I与划分T无关，也与?k的取值无关，则称

l(T)0k?1函数f(x)在?a,b?黎曼可积，I是在?a,b?上的黎曼积分，表示为

I?(R)?f(x)dx。假设当l(T)?0时，积分和?n极限不存在，称函数f(x)在?a,b?

ab上是不可积。黎曼积分的定义知道：若函数f(x)在?a,b?上黎曼可积，那么f(x)在?a,b?上必定有界。换句话说，若函数f(x)在?a,b?上无界，则f(x)在?a,b?上必

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