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Born to win
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学四试题
一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =
x?0ex?ax，b =.
dye2x(2) 设y?arctane?ln，则
dxe2x?1?x?1.
11?x2xe,??x??22，则2f(x?1)dx?(3) 设f(x)???121??1,x?2?.
?0?10???0?，B?P?1AP，其中P为三阶可逆矩阵, 则B2004?2A2?(4) 设A??10?00?1???(5) 设A?aij
．
??3?3是实正交矩阵，且a11?1，b?(1,0,0)，则线性方程组Ax?b的解是
T．
(6) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?.
二、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. (7) 函数f(x)?|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界( ) 2x(x?1)(x?2)(B) (0 , 1).
(C) (1 , 2).
(D) (2 , 3).
(A) (?1 , 0).
1??f(),x?0(8) 设f (x)在(??,??)内有定义，且limf(x)?a，g(x)??x，则( )
x????0,x?0 (A)x?0必是g(x)的第一类间断点. (B) x?0必是g(x)的第二类间断点. (C) x?0必是g(x)的连续点.
(D) g(x)在点x?0处的连续性与a的取值有关. (9) 设f(x)?x(1?x), 则 ( )
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(A) x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. (B) x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (C) x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. (D) x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点.
?1,x?0x?(10) 设f(x)??0,x?0，F(x)??f(t)dt，则 ( )
0??1,x?0?
(A) F(x)在x?0点不连续.
(B) F(x)在(??,??)内连续，但在x?0点不可导. (C) F(x)在(??,??)内可导，且满足F?(x)?f(x). (D) F(x)在(??,??)内可导，但不一定满足F?(x)?f(x).
(11) 设f?(x)在[a,b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是( )
(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)>f(a).
(B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f(b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.
(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有( )
(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a. (C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0.
(13) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,
若P{|X|?x}?α, 则x等于( ) (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α.
221n(14) 设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布，且其方差为??0. 令Y??Xi，
ni?1 Born to win
则( )
(A) Cov(X1,Y)?(C) D(X1?Y)??2n. (B) Cov(X1,Y)??2.
n?22n?12?. (D) D(X1?Y)??. nn
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分8分)
1cos2x?). 求lim(2x?0sin2xx(16) (本题满分8分)
求
??(Dx2?y2?y)d?，其中D是由圆x2?y2?4
和(x?1)2?y2?1所围成的平面区域(如图).
(17) (本题满分8分)
设f(u,v)f (u , v)具有连续偏导数，且满足fu?(u,v)?fv?(u,v)?uv. 求y(x)?e?2xf(x,x)所满足的一阶微分方程，并求其通解. (18) (本题满分9分)
设某商品的需求函数为Q?100?5P，其中价格P?(0,20)，Q为需求量. (I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导
dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加.
(19) (本题满分9分)
??e2x,x?0设F(x)???2x，S表示夹在x轴与曲线y?F(x)之间的面积. 对任何t?0，
?,x?0?eS1(t)表示矩形?t?x?t，0?y?F(x)的面积. 求
(I) S(t) = S ?S1(t)的表达式； (II) S(t)的最小值.
(20) (本题满分13分)
设线性方程组