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【金版教程】2016届高三数学二轮复习 第一编 专题整合突破 2.3
平面向量（选择、填空题型）理
一、选择题
1．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) 答案 B
解析 可根据向量共线不可以作为基底来判断． ∵A、C、D中e1与e2共线，故选B.
2．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) 9
A．－
2C．3 答案 C
解析 2a－3b＝(2k－3，－6)，由(2a－3b)⊥c，得4k－6－6＝0，解得k＝3.选C. 3．若向量a、b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( ) A．2 C．1 答案 B
??
解析 由题意得?
??
B．0 D.15
2
B.2 D.2 2
a＋b·a＝a2＋a·b＝0，
2a＋b2
·b＝2a·b＋b＝0
?－2a＋b＝0，即－2|a|＋|b|＝
2
2
2
2
0，又|a|＝1，∴|b|＝2.故选B.
→→→
4．设O为△ABC内部的一点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△AOC的面积与△BOC的面积之比为( )
3A. 2C．2 答案 D
5B. 3D．1
→→→→→→→
解析 ∵OA＋OB＋2OC＝0，∴OA＋OB＝－2OC＝2OD(D为边AB的中点)，画出图形如图所示，则点A，B到OC的距离相等，OC边公用，则△AOC，△BOC的面积相等，选D.
π??5．已知向量a＝(cosθ，－2)，b＝(sinθ，1)，且a∥b.则tan?θ－?等于( ) 4??A．3 1
C. 3答案 B
解析 由a∥b得cosθ＋2sinθ＝0，
π?tanθ－11?∴tanθ＝－，tan?θ－?＝＝－3.故选B. 4?1＋tanθ2?
6．[2015·长春质监(三)]已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a与向量b的夹角为( )
A.C.π
6π 3
B.D.π 42π 3B．－3 1D．－
3
答案 B
解析 ∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a－a·b＝0，∴a·b＝a，∵|a|＝1，|b|＝2，
2
2
a·ba22π
∴cos〈a，b〉＝＝＝，∴向量a与向量b的夹角为，故选B.
|a||b||a||b|24
7．已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝3，则向量2a＋3b在向量2a＋b方向上的投影为( )
A.C.
1913 1356
6
B.D.613
1383
13
2a＋3b·2a＋b|2a＋b|
答案 A
解析 2a＋3b在向量2a＋b上的投影为|2a＋3b|cosθ＝4a＋8a·b＋3b1913＝. 22134a＋4a·b＋b2
2
＝
→→→
8．[2015·湖北八校二联]在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BC＝2BD，AC＝→→→
3AE，则AD·BE的值为( )
4A．－ 31C. 3答案 A
→→→→→→→→
11
解析 AD＝(AB＋AC)，BE＝AE－AB＝AC－AB
23→→→→
?1→→?1?1→1
∴AD·BE＝(AB＋AC)·?AC－AB?＝?AC2
2?3?2?3
1
B．－ 34D. 3
→?42?＝－. 3－AB?
9．对于平面向量a，b，给出下列四个命题： 命题p1：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角； 命题p2：“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充要条件；
命题p3：当a，b为非零向量时，“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||成立”的充要条件；
命题p4：若|a＋b|＝|b|，则|2b|≥|a＋2b|. 其中的真命题是( ) A．p1，p3 C．p1，p2 答案 B
解析 解法一：对于命题p1，当向量a，b共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p1是假命题．对于命题p2，因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，又|a·b|＝|a||b|，所以|cos〈a，b〉|＝1，所以〈a，b〉＝0°或180°，即a∥b.反之，如果a∥b，容易得到|a·b|＝|a||b|，因此“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充要条件(这里包含a，b中有零向量的情况，因为零向量可以和任何向量平行)，所以命题p2是真命题．对于命题p3，|a＋b|＝||a|－|b||?a·b＝－|a||b|?cos〈a，b〉＝－1?a与b反向?a＝
B．p2，p4 D．p3，p4
λb(λ<0)，所以“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||”的充分不必要条件，所以命题p3
是假命题．对于命题p4，由|a＋b|＝|b|得，a＋2a·b＝0，即2a·b＝－a，故|a＋2b|＝
2
2
2
a2＋4b2＋4a·b＝a2＋4b2－2a2＝4b2－a2≤4b2＝|2b|2，即|2b|≥|a＋2b|，所以命题p4是真
命题．
解法二：对于命题p1，当向量a，b共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p1是假命题，排除A、C.根据B、D可知，命题p4是真命题，故只需要判断命题p2即可．对于命题p2，因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，所以|a·b|＝|a||b|?|cos〈a，b〉|＝1?〈a，b〉＝0°或180°?a∥b，所以命题p2是真命题，故选B.