内容发布更新时间 : 2024/6/18 19:14:22星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∵AB＝AO?AD， ∴

2

，

∵∠BAO＝∠DAB， ∴△ABO∽△ADB， ∴∠OBA＝∠ADB， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAB， ∴∠OAB＝∠BDA， ∴AB＝BD，

∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AB＝AC＝BD＝CD， ∴四边形ABDC是菱形．

2. （2019年江苏省苏州市）如图，AE为O的直径，D是弧BC的中点BC与AD，OD分别交于点E，F.

（1）求证：DO∥AC；

（2）求证：DE?DA?DC2;

1（3）若tan?CAD?,求sin?CDA的值.

2CEFAOBD

【考点】圆内有关性质、相似三角形、锐角三角函数 【解答】（1）证明：∵D为弧BC的中点，OD为O的半径 ∴OD⊥BC

又∵AB为O的直径 ∴?ACB?90? ∴AC∥OD

（2）证明：∵D为弧BC的中点 ∴CD?BD ∴?DCB??DAC ∴?DCE∽?DAC ∴

DCDE ?DADC1 2 即DE?DA?DC2

（3）解：∵?DCE∽?DAC，tan?CAD?CDDECE1??? DADCAC2 设CD=2a，则DE=a，DA?4a 又∵AC∥OD ∴?AEC∽DEF

∴

∴

CEAE??3 EFDE8所以BC?CE

3又AC?2CE

∴AB?10CE 3CA3? AB5即sin?CDA?sin?CBA?3. （2019年河南省）如图，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是长交AC于点G．

（1）求证：△ADF≌△BDG； （2）填空：

①若AB＝4，且点E是②取

的中点，则DF的长为 ；

上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延

的中点H，当∠EAB的度数为 时，四边形OBEH为菱形．

【考点】圆的性质、垂径定理、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、解直角三角形、特殊角的三角函数值 【解答】解：（1）证明：如图1，∵BA＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45° ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠AEB＝90°，

∴∠DAF+∠BGD＝∠DBG+∠BGD＝90° ∴∠DAF＝∠DBG ∵∠ABD+∠BAC＝90° ∴∠ABD＝∠BAC＝45° ∴AD＝BD

∴△ADF≌△BDG（ASA）；

（2）①如图2，过F作FH⊥AB于H，∵点E是∴∠BAE＝∠DAE ∵FD⊥AD，FH⊥AB ∴FH＝FD ∵∴∵AB＝4， ∴BD＝4cos45°＝2∴FD＝故答案为

＝4﹣2．

的中点，

，即BF+FD＝2

，（

+1）FD＝2

＝sin∠ABD＝sin45°＝

，即BF＝

FD

，

的中点，

②连接OE，EH，∵点H是∴OH⊥AE，

∵∠AEB＝90° ∴BE⊥AE ∴BE∥OH

∵四边形OBEH为菱形， ∴BE＝OH＝OB＝∴sin∠EAB＝∴∠EAB＝30°． 故答案为：30°

＝AB

4. (2019年浙江省温州市)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF．

（1）求证：四边形DCFG是平行四边形． （2）当BE＝4，CD＝

AB时，求⊙O的直径长．

【考点】三角形的外接圆与外心、平行四边形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理 【解答】（1）证明：连接AE， ∵∠BAC＝90°， ∴CF是⊙O的直径， ∵AC＝EC， ∴CF⊥AE，