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1987年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)当x=_____________时,函数y?x?2x取得极小值.
(2)由曲线y?lnx与两直线y?e?1?x及y?0所围成的平面图形的面积是_____________.
x?1
(3)与两直线 y??1?t及x?11?y?21?z?11都平行且过原点的平面方程为_____________.
z?2?t
(4)设L为取正向的圆周x2?y2?9,则曲线积分
??(2xy?2y)dx?(x2L?4x)dy= _____________.
(5)已知三维向量空间的基底为α1?(1,1,0),α2?(1,0,1),α3?(0,1,1),则向量β?(2,0,0)在此基底下的坐标是_____________.
二、(本题满分8分)
2求正的常数a与b,使等式lim1xt?0bx?sinx?0a?tdt?1成立.
x2
三、(本题满分7分)
(1)设f、g为连续可微函数,u?f(x,xy),v?g(x?xy),求?u?v?x,?x.
?301?(2)设矩阵A和B满足关系式AB=A?2B,其中A???110?,求矩阵B. ?014????
四、(本题满分8分)
求微分方程y????6y???(9?a2)y??1的通解,其中常数a?0.
五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设limf(x)?f(a)x?a(x?a)2??1,则在x?a处
(A)f(x)的导数存在,且f?(a)?0 (B)f(x)取得极大值 (C)f(x)取得极小值
(D)f(x)的导数不存在
s(2)设f(x)为已知连续函数,I?t?t0f(tx)dx,其中t?0,s?0,则I的值
(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x (C)依赖于t、x,不依赖于s
(D)依赖于s,不依赖于t
(3)设常数k?0,则级数??(?1)nk?nn?n2 1(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛
(D)散敛性与k的取值有关
(4)设A为n阶方阵，且A的行列式|A|?a?0,而A*是A的伴随矩阵，则|A*|等于 (A)a
(B)
1a (C)an?1
(D)an
六、（本题满分10分） 求幂级数??1xn?1n?1n?2n的收敛域，并求其和函数.
七、（本题满分10分） 求曲面积分
I???x(8y?1)dydz?2(1?y2)dzdx?4yzdxdy,
?其中?是由曲线f(x)????z?y?1 1?y?3?绕y轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y轴正向的夹角恒大于?.?x?02
八、（本题满分10分）
设函数f(x)在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个x,函数f(x)的值都在开区间(0,1)内,且f?(x)?1,证明在(0,1)内有且仅有一个x,使得f(x)?x.
九、（本题满分8分） 问a,b为何值时,现线性方程组
x1?x2?x3?x4?0x2?2x3?2x4?1?x2?(a?3)x
3?2x4?b3x1?2x2?x3?ax4??1有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.
十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设在一次实验中,事件A发生的概率为p,现进行n次独立试验,则A至少发生一次的概率为____________;而事件A至多发生一次的概率为____________.
(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________.
(3)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)?1?x2?2x?1?e,则X的数学期望为____________,X的方差为
____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X,Y相互独立,其概率密度函数分别为
f10?x?1e?yX(x)? 0
其它,fy)? y?0Y(0 y?0, 求Z?2X?Y的概率密度函数.
1988年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)
?求幂级数?(x?3)n(1)n的收敛域. n?1n3(2)设f(x)?ex2,f[?(x)]?1?x且?(x)?0,求?(x)及其定义域. (3)设?为曲面x2?y2?z2?1的外侧,计算曲面积分I????x3dydz?y3dzdx?z3dxdy.
?
二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)
(1)若f(t)?limt(1?12txx??x),则f?(t)= _____________.
(2)设f(x)连续且
?x3?10f(t)dt?x,则f(7)=_____________.
(3)设周期为2的周期函数,它在区间(?1,1]上定义为f(x)? 2?1?x?0x2 0?x?1,则的傅里叶(Fourier)级数在x?1处收敛于_____________.
(4)设4阶矩阵A?[α,γ2,γ3,γ4],B?[β,γ2,γ3,γ4],其中α,β,γ2,γ3,γ4均为4维列向量,且已知行列式
A?4,B?1,则行列式A?B= _____________.
三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)可导且f?(x?10)2,则?x?0时,f(x)在x0处的微分dy是
(A)与?x等价的无穷小 (B)与?x同阶的无穷小 (C)比?x低阶的无穷小 (D)比?x高阶的无穷小
(2)设y?f(x)是方程y???2y??4y?0的一个解且f(x0)?0,f?(x0)?0,则函数f(x)在点x0处 (A)取得极大值 (B)取得极小值 (C)某邻域内单调增加
(D)某邻域内单调减少
(3)设空间区域?222222221:x?y?z?R,z?0,?2:x?y?z?R,x?0,y?0,z?0,则
(A)???xdv?4???dv
(B)
????ydv?4???ydv
1?2?1?2(C)
???zdv?4???zdv
(D)
xyzdv
????xyzdv?4????1?21?2?(4)设幂级数
?a(x?nn1)在x??1处收敛,则此级数在x?2处 n?1(A)条件收敛
(B)绝对收敛
(C)发散
(D)收敛性不能确定
(5)n维向量组α1,α2,?,αs(3?s?n)线性无关的充要条件是 (A)存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使k1α1?k2α2???ksαs?0 (B)α1,α2,?,αs中任意两个向量均线性无关
(C)α1,α2,?,αs中存在一个向量不能用其余向量线性表示 (D)α1,α2,?,αs中存在一个向量都不能用其余向量线性表示
四、(本题满分6分)
设u?yf(xy?2uy)?xg(x),其中函数f、g具有二阶连续导数,求x?2u?x2?y?x?y.
五、(本题满分8分)
设函数y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex,其图形在点(0,1)处的切线与曲线y?x2?x?1在该点处的
切线重合,求函数y?y(x).