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内容发布更新时间 : 2024/12/27 1:17:19星期一下面是文章的全部内容请认真阅读。

pij(s,s?t)?pij(s,s)?P(N(s?t)?j|N(s)?i)?P(N(s)?j|N(t)?i)P(N(s?t)?j,N(s)?i)P(N(s?t)?N(s)?j?i,N(s)?i)??ij???ijP(N(s)?i)P(N(s)?i)?P(N(s?t)?N(s)?j?i)??ij??P(N(t)?j?i)??ij?(?t)j?i??te??ij,j?i???(j?i)!?0,j?i?pij(s,s?t)?pij(s,s)te??t?1?lim???t?0?t??,j?i?1???0,其他i?j时，limt?0?j?i?1时，t?0?limpij(s,s?t)?pij(s,s)t?lim?j?ie??ttj?i?1(j?i)!t?0?

综上，结论成立。

N(t)7、设{X(t)??Y,t?0}是复合Poisson过程，??5，且Y服从(1000,2000)内的均匀分布，

iii?1求X(t)的均值函数，方差函数和特征函数。解：

EYk?1500,EYk2?，其特征函数是

e2000is?e1000is?Yk(s)?1000is?E(X(t))?5t?1500?7500t7D(X(t))?5t??106?3e2000is?e1000is?X(s)?exp{5t[?1]}1000is

作业3（更新过程）

1、

设Xn,n?1,2,是独立同分布的非负随机变量序列，且

P(Xn?i)?p(1?p)i?1,i?1,2,，以Xn,n?1,2,为更新时间间隔的更新过程

{N(t),t?0}，求P{N(t)?n}以及更新函数。

解：设时间间隔Xn服从几何分布， {Xn?i}相当于在Bernoulli试验中第i次试验取得成功，更新时刻{?n?k}相当于在Bernoulli试验中第k次试验取得第n次成功，即

?1nk?n?Ckn?,k?n1p(1?p) P(?n?k)???0,k?n所以

P{N(t)?n}?Fn(t)?Fn?1(t)?P(?n?t)?P(?n?1?t)??Ck?n[t]n?1k?1p(1?p)nk?n?k?n?1?C[t]nk?1pn?1(1?p)k?n?1

?m(t)??Fn(t)??rP(N(t)?r)n?1r?0?k 2、

某控制器用一节电池供电，电池失效时立即更换同型号新电池，设电池寿命服从（30,60）（单位：h）内的均匀分布，求长时间工作时，控制器更换电池的速率；解：设N(t)表示在[0,t]内失效的电池数量，则在长时间工作的情况下，电池更新的速率为

601N(t)1lim?而???t?dt?45(小时)

30t??30t?所以limt??N(t)11?= t?45

3、设{N(t),t?0}是更新过程，更新间距Xi,i?1,2,的概率密度函数是

??e??(x??),x??f(x)??

0,,x???求P(N(t)?k)。提示：

利用递推的方法，可求得

?1?kek??(t?k?)k?1e??t,t?k?? f?k(t)??(k?1)!?0,,t?k??

4 、设{N(t),t?0}是更新过程，更新间距Xi,i?1,2,求

，MN(t)??t是它的更新函数，

E[exp(?t?Xk)],t?0。

k?1n提示：由于更新函数和更新过程唯一确定，于是由MN(t)??t是它的更新函数，可知该更新过程为Possion过程。从而更新间距Xi,i?1,2,那么

相互独立同参数为?的指数分布

E[exp(?t?Xk)]=?E[exp(?tXk)]k?1k?1nnE[exp(?tXk)]=?e?tx?e?xdx?0?=??+t

然后代入上式即可答案（

?n）?+t作业4（Markov过程）

一、计算题

1、设{Xn,n?0}是齐次Markov链，其状态空间E?{a,b,c}，一步转移概率为矩阵为

?1/21/41/4??2/301/3? ????3/52/50??设初始分布为P(X0?a)?P(X0?b)=P(X0?c)?1/3 求（1）P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c)；（2）P(Xn?2?c|Xn?b)。提示：（1）

P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c)=P(X=a)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=a)?P(X=b)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=b) ?P(X=c)?P(X1?b,X2?c,X3?a,X4?c|X=c)? 对于

（2）

当然也可以通过求一步转移概率矩阵的平方，然后找到对应元素求得。

2、考虑一个质点在直线上作随机游动，如果在某一个时刻质点位于状态i，则下一步将以概率p(0?p?1)向前移动到达i?1，或以q?1?p向后移动到达i?1，以Xn表示n时刻质点的位置，且在0时刻从原点出发，则{Xn,n?0}显然是一个Markov链。求（1）写出状态空间E；

（2）求一步转移概率矩阵；（3）求n步转移概率矩阵。

提示：

（1） E=所有整数

???（2） P??????q000q0p0q0p000p???? ????(3)每次游动只有两种可能，向前概率为p，向后概率为q，n次移动的结果是由i到j，若在n次游动中向前m1次，向后m2次，则

n?j?i?m???m1?m2?n?12?? ??m1?m2?j?i?m?n?j?i2??2n?j?in?j?i?n?2j?i22?Cn(n)?p?q,,,n?j?i为偶数?pij???,,,n?j?i为奇数?0，

nnn?222?(n)pii??Cn?p?q,,,n为偶数?,,,n为奇数?0，

3、设齐次Markov链{Xn,n?0}的状态空间是{1,,7}，状态转移矩阵为

001/2?0?1/31/31/30??0010?P??1/3000?0100?00?1/20?0003/4?（1）对状态空间进行分解；

（2）求平稳分布。

提示：仿照教材中的例题来做。

01/20000000?00??00??02/3? 00??01/2?1/40??E?N?R?1?R?2?{2,5}?{1,4,6,7}?{3}平稳分布

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