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2017年高考数学试题分类汇编:不等式
1(2017北京文)已知x?0,y?0,且x+y=1,则x?y的取值范围是__________.
22【考点】3W:二次函数的性质.
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用.
【分析】利用已知条件转化所求表达式,通过二次函数的性质求解即可. 【解答】解:x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2=x2+(1﹣x)2=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],
则令f(x)=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],函数的对称轴为:x=,开口向上, 所以函数的最小值为:f()=最大值为:f(1)=2﹣2+1=1. 则x2+y2的取值范围是:[,1]. 故答案为:[,1].
【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用,考查转化思想以及计算能力.
2(2017浙江)已知a?R,函数f(x)?|x?取值范围是___________.
4?a|?a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的x=.
【考点】3H:函数的最值及其几何意义.
【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;51 :函数的性质及应用.
【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5,进而解绝对值不等式可知2a﹣
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5≤x+≤5,进而计算可得结论.
【解答】解:由题可知|x+﹣a|+a≤5,即|x+﹣a|≤5﹣a,所以a≤5, 又因为|x+﹣a|≤5﹣a, 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a, 所以2a﹣5≤x+≤5, 又因为1≤x≤4,4≤x+≤5, 所以2a﹣5≤4,解得a≤, 故答案为:(﹣∞,].
【点评】本题考查函数的最值,考查绝对值函数,考查转化与化归思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
3(2017新课标Ⅲ文数)[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. (1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空,求实数m的取值范围.
【考点】R4:绝对值三角不等式;R5:绝对值不等式的解法.
【专题】32 :分类讨论;33 :函数思想;4C :分类法;4R:转化法;51 :函数的性质及应用;5T :不等式.
【分析】(1)由于f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,解不等式f(x)
≥1可分﹣1≤x≤2与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)≥1的解集;
(2)依题意可得m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x,分x≤1、
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﹣1<x<2、x≥2三类讨论,可求得g(x)max=,从而可得m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2; 当x>2时,3≥1恒成立,故x>2; 综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立, 即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由(1)知,g(x)=,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1, ∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),
∴g(x)≤g()=﹣+﹣1=;
当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2, ∴g(x)≤g(2)=﹣4+2+3=1; 综上,g(x)max=,
∴m的取值范围为(﹣∞,].
【点评】本题考查绝对值不等式的解法,去掉绝对值符号是解决问题的关键,突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用,属于难题.
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4(2017新课标Ⅲ理数).[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=│x+1│–│x–2│. (1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2–x +m的解集非空,求m的取值范围. 解:(1)当x??1时
f?x????x?1???x?2???3?1无解
f(x)?x?1?(x?2)当?1?x?2时
?2x?12x?1?1x?1∴1?x?2
f(x)?x?1?(x?2)?3当x?2时Q3?1综上所述f(x)?1的解集为 [1,??).
?x?222(2)原式等价于存在x?R,使f(x)?x?x?m 成立,即 [f(x)?x?x]max?m
设g(x)?f(x)?x?x
2??x2?x?3,x??1?22由(1)知 g(x)???x?3x?1,?1?x?2 当x??1时,g(x)??x?x?3
??x2?x?3,x?2?
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5(2017新课标Ⅱ文)[选修4?5:不等式选讲](10分) 已知a?0,b?0,a?b?2.证明: (1)(a?b)(a?b)?4; (2)a?b?2. 【解析】(1)
5533?a?b??a5?b5?a6?ab5?a5b?b6?a?b??33?2?2a3b3?aba4?b42??
?4?aba?b?4(2)因为
?2?2?a?b??a3?3a2b?3ab2?b33?2?3ab?a+b??2+33?a+b?42?a+b??2?3?a+b?43
所以?a+b??8,因此a+b≤2.
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