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常微分方程第三版课后习题答案

习题1.2

1．

dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：

dy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c y2y=ex+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= ex.

2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy

1y1dydy=-dx 2x?1y2两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y=

1

ln|c(x?1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=

1

ln|c(x?1)|dy1?y23．= 3dxxy?xydy1?y21 解：原方程为：=

dxyx?x311?y2dy=dx 3x?xy两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：

x?11?ydy=-dx xy两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：

dyx?ydx=-x?y

令y=u 则

dyxdx=u+xdudx 代入有： -u?11u2?1du=xdx

ln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctgyx2. 6. x

dydx-y+x2?y2=0 解：原方程为：

dy=y+|x|-1?(yx)2dxxx 则令y=u

dyxdx=u+ xdudx 11?u2 du=sgnx 1xdx

arcsinyx=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：

dytgy=dxctgx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=

1ccosx=ccosx 另外y=0也是原方程的解，而所以原方程的通解为sinycosx=c. 8

dyey2?3xdx+y=0

c=0时，y=0. dyey3x 解：原方程为：=e

dxy22 e3x-3e?y=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：

dyyy=ln dxxxydydu令=u ,则=u+ x

dxdxx2 u+ x

du=ulnu dxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln=cy. 10.

dy=ex?y dxdy=exe?y dxyx 解：原方程为：

ey=cex 11

dy=(x+y)2 dx 解：令x+y=u,则

du-1=u2 dx1du=dx 21?udydu=-1 dxdxarctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12.

dy1= dx(x?y)2dydu=-1 dxdx解：令x+y=u,则

du1-1=2 dxu u-arctgu=x+c