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3.2 一元二次不等式及其解法

第一课时 一元二次不等式及其解法

预习课本P76～78，思考并完成以下问题 (1)怎样判断一个不等式是否为一元二次不等式？ (2)如何求解一元二次不等式？ (3)三个“二次”指的是哪三个“二次”？它们之间有何关系？ [新知初探]

1．一元二次不等式

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax＋bx＋c＞0(≥0)或ax＋bx＋c＜0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．

3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表

判别式Δ＝b－4ac 二次函数y＝ax＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax＋2222

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Δ>0 Δ＝0 Δ<0 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根 bx＋c＝0(a>0)的根 x1，x2(x1＜x2) bx1＝x2＝－ 2a鼎尚出品

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ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 {x|xx2} ?b??x|x≠－? 2a??R Δ＝b2－4ac ax2＋bx＋c<0(a>0) 的解集 [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx－5x<0是一元二次不等式( )

(2)若a>0，则一元二次不等式ax＋1>0无解( )

(3)若一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1

(4)不等式x－2x＋3>0的解集为R( )

解析：(1)错误．当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)错误．因为a>0，所以不等式ax＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R. (3)错误．当a>0时，ax＋bx＋c<0的解集为{x|x10的解集为R. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．不等式x(2－x)＞0的解集为( ) A．{x|x＞0} C．{x|x＞2或x＜0}

B．{x|x＜2} D．{x|0＜x＜2}

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{x|x12x的解集是( ) A．{x|x≥5或x≤－1} C．{x|－1

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B．{x|x>5或x<－1} D．{x|－1≤x≤5}

解析：选B 由x－2x－5>2x，得x－4x－5>0， 因为x－4x－5＝0的两根为－1,5， 故x－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}． 4．不等式－3x＋5x－4>0的解集为________． 解析：原不等式变形为3x－5x＋4<0. 因为Δ＝(－5)－4×3×4＝－23<0，

所以由函数y＝3x－5x＋4的图象可知，3x－5x＋4<0的解集为?. 答案：?

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一元二次不等式解法

[典例] 解下列不等式： (1)2x＋5x－3<0； (2)－3x＋6x≤2； (3)4x＋4x＋1>0； (4)－x＋6x－10>0.

12

[解] (1)Δ＝49>0，方程2x＋5x－3＝0的两根为x1＝－3，x2＝，

2作出函数y＝2x＋5x－3的图象，如图①所示．

???1

由图可得原不等式的解集为?x?－3

2???

2

22

22

??

?. ??

3－322

(2)原不等式等价于3x－6x＋2≥0.Δ＝12>0，解方程3x－6x＋2＝0，得x1＝，

3

x2＝

3＋3

， 3

作出函数y＝3x－6x＋2的图象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为

2

??3－33＋3?x?x≤或x≥

33??

?

?. ?

12

(3)∵Δ＝0，∴方程4x＋4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝－.作出

2函数y＝4x＋4x＋1的图象如图所示．

由图可得原不等式的解集为

???1

?x?x≠－，x∈R

2???

2

??

?. ??

2

(4)原不等式可化为x－6x＋10<0，∵Δ＝－4<0， ∴方程x－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为?.

解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； 鼎尚出品

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