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第5章 机械振动

第5章 机械振动

?25-1 有一弹簧振子，振幅A?2.0?10m，周期T?1.0s，初相??3?.试写出它的振动位4移、速度和加速度方程。

分析 根据振动的标准形式可得到振动方程，通过求导即可求解速度和加速度方程。 解：振动方程为

x?Acos(?t??)?Acos(代入有关数据得

2?t??) Tx?0.02cos(2?t?振子的速度和加速度分别是

3?)(m) 4v?dx3???0.04?sin(2?t?)(m?s?1) dt4d2x3?a?2??0.08?2cos(2?t?)(m?s?2)

dt45-2一弹簧振子的质量为0.500kg，当以35.0cm的振幅振动时，振子每0.500s重复一次运动.求振子的振动周期T、频率ν、角频率ω、弹簧的倔强系数k、物体运动的最大速率vmax、和弹簧给物体的最大作用力Fmax.

分析：最大速率vmax?A?, amax?A?2，Fmax?mamax，??2?v，v?要求出周期T即可.

s 解：由题意可知 T?0.500；

所以频率 v?1/T?2.00Hz；

角频率

1

，所以只T

??2?v=4?=12.6(rad?s?1)；

22?1 倔强系数 k?m??0.500?12.6?79.4(N?m)； 最大速率 vmax?A??0.35?12.6?4.41(m?s)

最大作用力 Fmax?mamax?mA??0.500?0.35?12.6?27.8(N)

5-3质量为2kg的质点，按方程x?0.2cos(5t?22?1?6)(m)沿着x轴振动.求：

第5章 机械振动

（1）t?0时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置.

分析 根据振动的动力学特征和已知的简谐运动方程求解，位移最大时受力最大。 解：（1）跟据牛顿第二定律

?d2xf?m2??m?2x，x?0.2cos(5t?)(m)

6dt将t?0代入上式中，得：

f?5.0N

（2）由f??m?2x可知，当x??A??0.2m时，质点受力最大，为f?10.0N 5-4在某港口海潮引起海洋的水平面以涨落高度d（从最高水平到最低水平）做简谐运动，

周期为12.5h.求水从最高处下降了d/4高度需要多少时间？

分析：由旋转矢量法即可求解.

解：从最高水平到最低水平为2倍的振幅，由题可得旋转矢量图，从解图5-4中可见

??arccos(d/4?)? d/23解图5-4

t????/3??12.5?2.08(h) ?2?/T2?

?25-5一放置在水平桌面上的弹簧振子，其振幅A?2.0?10m，周期T?0.5s，当t?0时，

则：

（1）物体在正方向端点；

（2）物体在平衡位置，向负方向运动；

（3）物体在x?1.0?10m处，向负方向运动； （4）物体在x??1.0?10m处，向负方向运动. 求以上各种情况的振动方程。

分析 根据旋转矢量图，由位移和速度可以确定初相位。进而得出各种情况的振动方程。 解：设所求振动方程为

?2?2x?Acos(2?t??)?0.02cos(4?t??) T由旋转矢量图解图5-5可求出初相位

?1?0,?2??/2,?3??/3,?4?2?/3

（1）x?0.02cos4?t(m)

解图5-5

第5章 机械振动

（2）x?0.02cos(4?t?（3）x?0.02cos(4?t??2)(m) )(m)

?32?)(m) （4）x?0.02cos(4?t?35-6在一轻弹簧下端悬挂m0?100g砝码时，弹簧伸长8cm.现在这根弹簧下端悬挂

?1构成弹簧振子.将物体从平衡位置向下拉动4cm，并给以向上的21cm?sm?250g的物体，

的初速度（令这时t?0）.选x轴向下为正，求振动方程.

分析 在平衡位置为原点建立坐标轴，由初始条件得出特征参量。 解：弹簧的劲度系数

k?m0g/?l

该弹簧与物体m构成弹簧振子，起振后将做简谐运动，可设其振动方程为

x?Acos(?t??)

角频率为??k/m代入数据后求得

??7rad?s?1

以平衡位置为原点建立坐标，则

x0?0.04m,v0??0.21m?s?1

由A?x02?(v0/?)2得

A?0.05m

据???cos?1x0得 A???0.64rad

由于v0?0,应取??0.64rad，于是，所求方程为

x?0.05cos(7t?0.64)(m)

5-7 某质点振动的x-t曲线如题图5-7所示.求： （1）质点的振动方程；

（2）质点从t?0的位置到达P点相应位置所需的最短时间.

分析 由旋转矢量可以得出初相位和角频率，求出质点的振动方程。并根据P点的相位确