内容发布更新时间 : 2025/1/23 21:30:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
(二)直线与圆锥曲线(2)
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1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：y＝－x，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－，，22抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP的斜率k的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．
1?9??1?3
解 (1)由题意可知A?－，－?，B?，－?，
4?4??2?2132
设P(xP，－xP)，－ 22 12 －xP＋41 所以k＝ ＝－xP＋∈(－1,1)， 12xP＋2故直线AP的斜率k的取值范围是(－1,1)． 11 (2)直线AP：y＝kx＋k－， 2493 直线BQ：x＋ky＋k－＝0， 4211 y＝kx＋k－，??24联立?93 x＋ky＋k－＝0，??42 2 可知， 3－4k－k点Q的横坐标为xQ＝， 22k＋2|PQ|＝1＋k(xQ－xP) 2 k－k1?3－4＋k－?＝1＋k? 22??2k＋2? 2 2 ?k－1??1＋k? ＝， 2 1＋k1?2?2 |PA|＝1＋k?xP＋?＝1＋k(1－k)， 2??所以|PA|·|PQ|＝(1－k)(1＋k)， 令f(x)＝(1－x)(1＋x)，－1 则f′(x)＝(1－x)(－2－4x)＝－2(1－x)(2x＋1)， 2 2 3 3 2 1 当－1 21 当－ 2 1???1?故f(x)在?－1，－?上单调递增，在?－，1?上单调递减． 2???2? ?1?27 故f(x)max＝f?－?＝， ?2?16 27 即|PA|·|PQ|的最大值为. 16 x2y212 2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x＋ ab2y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△A1AB面积的最大值为2. (1)求椭圆C及圆O的方程； (2)若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求|PQ|的取值范围． 解 (1)设B点到x轴距离为h， 则SA1AB＝2S1 ＝2··|A1O|·h＝a·h， A1OB2 易知当线段AB在y轴时， hmax＝|BO|＝c，∴Sc1∵e＝＝， a2 A1AB＝a·c＝2， ∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝3， ∴椭圆C的方程为＋＝1，圆O的方程为x＋y＝1. 43(2)①当直线l的斜率不存在时，求得|PQ|＝3； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， ∵直线为圆的切线， ∴d＝2 x2y2 22 |m|1＋k2 2 ＝1， ∴m＝k＋1， y＝kx＋m，??22 联立?xy＋＝1，??43 2 2 得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0， 2 判别式Δ＝48(3k＋2)>0， －8kmx＋x＝，??4k＋3 由根与系数的关系得?4m－12 x·x＝，??4k＋3 1 2 22 1 2 2 2 ∴弦长|PQ|＝1＋k|x1－x2| 43·1＋k·3k＋2 ＝， 2 4k＋3令t＝4k＋3≥3， 则|PQ|＝3· 2 2 2 2?46??1?22 －??＋＋3∈?3，?. ?t?t3?? ?46? 综上，|PQ|∈?3，?. 3?? x2y23 3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，短轴ab2 →→ 为MN，点P(4,0)满足PM·PN＝15. (1)求椭圆C的方程； →→ (2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数λ，使得OA·OB＋→→ λPA·PB为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． →→2 解 (1)PM·PN＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b＝15， 所以b＝1， c又＝aa2－b232 ＝，所以a＝4， 2 a2 x2 2 从而椭圆C的方程为＋y＝1. 4(2)当l不为x轴时， 设l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立l与C的方程可得(m＋4)y＋8my＋12＝0， 所以y1＋y2＝－ 8m12 ，y1y2＝2， m＋4m＋4 2 2 2 →→→→ OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[(x1－4)(x2－4)＋y1y2] ＝(1＋λ)(1＋m)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16 2