内容发布更新时间 : 2024/5/18 5:17:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

(二)直线与圆锥曲线(2)

132

1．(2018·洛阳模拟)已知抛物线C：y＝－x，点A，B在抛物线上，且横坐标分别为－，，22抛物线C上的点P在A，B之间(不包括点A，点B)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (1)求直线AP的斜率k的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．

1?9??1?3

解 (1)由题意可知A?－，－?，B?，－?，

4?4??2?2132

设P(xP，－xP)，－

22

12

－xP＋41

所以k＝ ＝－xP＋∈(－1,1)，

12xP＋2故直线AP的斜率k的取值范围是(－1,1)． 11

(2)直线AP：y＝kx＋k－，

2493

直线BQ：x＋ky＋k－＝0，

4211

y＝kx＋k－，??24联立?93

x＋ky＋k－＝0，??42

2

可知，

3－4k－k点Q的横坐标为xQ＝， 22k＋2|PQ|＝1＋k(xQ－xP)

2

k－k1?3－4＋k－?＝1＋k? 22??2k＋2?

2

2

?k－1??1＋k?

＝， 2

1＋k1?2?2

|PA|＝1＋k?xP＋?＝1＋k(1－k)，

2??所以|PA|·|PQ|＝(1－k)(1＋k)， 令f(x)＝(1－x)(1＋x)，－1

则f′(x)＝(1－x)(－2－4x)＝－2(1－x)(2x＋1)，

2

2

3

3

2

1

当－10，

21

当－

2

1???1?故f(x)在?－1，－?上单调递增，在?－，1?上单调递减． 2???2?

?1?27

故f(x)max＝f?－?＝，

?2?16

27

即|PA|·|PQ|的最大值为. 16

x2y212

2．(2018·葫芦岛模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的焦距为2c，离心率为，圆O：x＋

ab2y2＝c2，A1，A2是椭圆的左、右顶点，AB是圆O的任意一条直径，△A1AB面积的最大值为2.

(1)求椭圆C及圆O的方程；

(2)若l为圆O的任意一条切线，l与椭圆C交于两点P，Q，求|PQ|的取值范围． 解 (1)设B点到x轴距离为h， 则SA1AB＝2S1

＝2··|A1O|·h＝a·h， A1OB2

易知当线段AB在y轴时，

hmax＝|BO|＝c，∴Sc1∵e＝＝，

a2

A1AB＝a·c＝2，

∴a＝2c，∴a＝2，c＝1，b＝3，

∴椭圆C的方程为＋＝1，圆O的方程为x＋y＝1.

43(2)①当直线l的斜率不存在时，求得|PQ|＝3；

②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， ∵直线为圆的切线， ∴d＝2

x2y2

22

|m|1＋k2

2

＝1，

∴m＝k＋1，

y＝kx＋m，??22

联立?xy＋＝1，??43

2

2

得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0，

2

判别式Δ＝48(3k＋2)>0，

－8kmx＋x＝，??4k＋3

由根与系数的关系得?4m－12

x·x＝，??4k＋3

1

2

22

1

2

2

2

∴弦长|PQ|＝1＋k|x1－x2| 43·1＋k·3k＋2

＝， 2

4k＋3令t＝4k＋3≥3， 则|PQ|＝3·

2

2

2

2?46??1?22

－??＋＋3∈?3，?. ?t?t3??

?46?

综上，|PQ|∈?3，?.

3??

x2y23

3．(2018·江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，短轴ab2

→→

为MN，点P(4,0)满足PM·PN＝15. (1)求椭圆C的方程；

→→

(2)设O为坐标原点，过点P的动直线l与椭圆交于点A，B，是否存在常数λ，使得OA·OB＋→→

λPA·PB为定值？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． →→2

解 (1)PM·PN＝(－4，b)·(－4，－b)＝16－b＝15， 所以b＝1，

c又＝aa2－b232

＝，所以a＝4， 2

a2

x2

2

从而椭圆C的方程为＋y＝1.

4(2)当l不为x轴时，

设l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立l与C的方程可得(m＋4)y＋8my＋12＝0， 所以y1＋y2＝－

8m12

，y1y2＝2， m＋4m＋4

2

2

2

→→→→

OA·OB＋λPA·PB＝x1x2＋y1y2＋λ[(x1－4)(x2－4)＋y1y2] ＝(1＋λ)(1＋m)y1y2＋4m(y1＋y2)＋16

2