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第五节 向心加速度

[学习目标] 1.理解向心加速度的产生及向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，知道其方向总是指向圆心且时刻改变． 2.知道决定向心加速度的有关因素，并能利用向心加速度公式进行有关计算．

[学生用书P23]

一、做匀速圆周运动的物体的加速度方向 (阅读教材P20)

1．圆周运动必有加速度：圆周运动是变速曲线运动，所以必有加速度．

2．做匀速圆周运动的物体受到的合力指向圆心，所以其加速度方向一定指向圆心． 拓展延伸?———————————————————(解疑难)

1．做匀速圆周运动的物体的加速度总是指向圆心，因此方向时刻发生变化，故匀速圆周运动是变加速曲线运动．

2．做匀速圆周运动的物体的加速度与线速度方向时刻垂直，因此线速度大小保持不变，只改变线速度的方向．

1.关于做匀速圆周运动的物体的下列说法正确的是( )

A．物体的加速度的方向始终指向圆心 B．物体的加速度的方向保持不变 C．物体受的合力指向圆心 D．物体的加速度是恒定的 提示：AC

二、向心加速度(阅读教材P20～P22)

1．定义：做匀速圆周运动的物体指向圆心的加速度．

v22

2．大小：an＝＝ωr.

r3．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直．

拓展延伸?———————————————————(解疑难)

2

v22π14πr2

1．由向心加速度公式an＝＝ωr与v＝ω·r、T＝＝得：an＝ω·v＝2＝

rωfT22

4πf·r.

v22

2．公式an＝＝ω·r＝ω·v，适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动；而公

r24πr22

式an＝2＝4πf·r，只适用于匀速圆周运动．

T2.(1)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变．( )

(2)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化．( )

v2

(3)根据a＝知加速度a与半径r成反比．( )

r2

(4)根据a＝ωr知加速度a与半径r成正比．( )

提示：(1)√ (2)× (3)× (4)×

1

对向心加速度的理解

[学生用书P24]

1．向心加速度描述线速度改变的快慢，只改变线速度方向，不改变其大小．

2．当匀速圆周运动的半径一定时，向心加速度的大小与线速度的平方成正比，与角速度的平方成正比．

3．无论是匀速圆周运动，还是变速圆周运动都有向心加速度，且方向都指向圆心．

——————————(自选例题，启迪思维)

关于向心加速度，下列说法中正确的是( ) A．向心加速度是描述线速度变化的物理量

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．向心加速度大小恒定，方向时刻改变

vt－v0

D．向心加速度的大小也可用公式a＝来计算

t[解析] 加速度是描述速度变化快慢的物理量，A项错；向心加速度与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，B项对；只有做匀速圆周运动的物体的向心加速度

vt－v0

大小恒定，C项错；公式a＝适用于直线运动，圆周运动是曲线运动，D项错．

t[答案] B

如图所示，为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知( )

A．A物体运动的线速度大小不变 B．A物体运动的角速度大小不变 C．B物体运动的角速度大小不变 D．B物体运动的线速度大小不变 [思路点拨] 解本题时，应先根据图象确定向心加速度随半径r变化的函数关系，再根据这个函数关系，结合向心加速度的计算公式作出判断．

v22

[解析] 由an＝知，v一定时an与r成反比；由an＝ωr知，ω一定时，an与r成正

r比．图线A为双曲线的一支，an与r成反比，故线速度不变，选项A正确；图线B为过原点的直线，an与r成正比，故角速度不变，选项C正确．

[答案] AC

玉溪高一检测)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图

中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑．向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )

2

a13a12A.＝ B.＝ a22a23a22a21C.＝ D.＝ a31a32[思路探究] (1)A、B、C三点中： ①角速度相等的点为________； ②线速度大小相等的点为________． (2)解答该题用到的两个重要关系式：

①向心加速度与线速度关系式：________； ②向心加速度与角速度关系式：________.

v2a1r22

[解析] 由于皮带不打滑，v1＝v2，a＝，故＝＝，A错，B对．由于右边两轮共

ra2r13

a2r2ω212

轴转动，ω2＝ω3，a＝rω，＝＝，C错，D对．

a3r3ω22

[答案] BD

[名师点评] 向心加速度的每个公式都涉及三个物理量，在比较传动装置上不同点向心加速度的关系时，按下列两步进行分析：

(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．

(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比．

向心加速度的计算

[学生用书P24]

2

v24π222

1．对向心加速度的各种表达式an＝＝ωr＝2r＝4πfr＝ωv，要牢记，且要深刻

rT理解它们的内涵，这样才能准确、迅速解题．

2．根据题目中所给的条件，灵活选取an的表达式，既可以减少运算又能顺利地求解问

v22

题．例：若已知或要求量为v，则选a＝，若已知或要求量为ω，则选a＝ωr.

r——————————(自选例题，启迪思维)

如图所示，半径为R的圆环竖直放置，一轻弹簧一端固定在环的最高点A，一端系一带

2

有小孔穿在环上的小球，弹簧原长为R.将小球从静止释放，释放时弹簧恰无形变，小球运

3

动到环的最低点时速率为v，这时小球向心加速度的大小为( )

v2

A. R23vC. 2Rv2B. 2R23vD. 4R[解析] 小球沿圆环运动，其运动轨迹就是圆环所在的圆，轨迹的圆心就是圆环的圆心，

v2

运动轨迹的半径就是圆环的半径，小球运动到环的最低点时，其向心加速度的大小为，加R

3

速度方向竖直向上，正确选项为A.

[答案] A

一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2 s，则物体在运动过程中的任一时刻，速度变化率的大小为( )

22

A．2 m/s B．4 m/s

2

C．0 D．4π m/s

2π2π2

[解析] 速度变化率的大小指的是加速度的大小，由an＝ωr＝ωv＝v＝×4

T2

22

m/s＝4π m/s，选项D正确．

[答案] D

如图所示，定滑轮的半径r＝2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释

2

放，测得重物以加速度a＝2 m/s做匀加速运动，在重物由静止下落距离为1 m的瞬间，滑

2

轮边缘上的点的角速度ω＝________ rad/s，向心加速度an＝________ m/s

[思路点拨] 重物的运动与滑轮的转动之间的关系为：重物下落的速度与滑轮边缘上的点的线速度相等．

[解析] 重物下落1 m时，瞬时速度为v＝2as＝2×2×1 m/s＝2 m/s.显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是2 m/s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动角

v22222

速度ω＝＝ rad/s＝100 rad/s.向心加速度an＝ωr＝100×0.02 m/s＝200 m/s.

r0.02

[答案] 100 200

[学生用书P25]

典型问题——变速圆周运动的加速度分析

在匀速圆周运动中，物体的加速度就是向心加速度．在变速圆周运动中，物体的加速度并不指向圆心，该加速度可分解为指向圆心方向和沿切线方向的两个分加速度，前者即为向心加速度，改变线速度的方向，后者叫切向加速度，改变线速度的大小．若切向加速度与

v2

线速度同向，则线速度增大，由an＝知，向心加速度增大．若切向加速度与线速度反向，

r则线速度减小，向心加速度亦减小．因此，变速圆周运动的向心加速度大小、方向都发生改变．

[范例]

如图所示，细绳的一端系着小球，另一端系在O点，现让小球处于与O点等高的A点，因此细绳恰伸长，然后由静止释放小球，依次通过B、C、D三点(不计空气阻力)，下列判断正确的是( )

4