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2012届高考理科数学第一轮总复习教案

第五章 三角函数 高考导航

考试要求 重难点击 命题展望 1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性. 4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在(－ , )上的单调性. 5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1 ， ＝tan x. 6.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响. 7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与性质，y＝Asin(ωx＋) (ω＞0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力；5.正、余弦定理及应用. 本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系；2.灵活运用三角公式化简、求值、证明； 3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法；4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型.三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一.在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及

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图象变换、作图、识图等.解三角形的问题往往与其他知识(如立体几何、解析几何、向量等)相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则. 知识网络

5.1 任意角的三角函数的概念

典例精析 题型一 象限角与终边相同的角 【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、 的终边所在的象限. 【解析】因为α是第二象限角， 所以k 360°＋90°＜α＜k 360°＋180°(k∈Z). 因为2k 360°＋180°＜2α＜2k 360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y轴的负半轴上. 因为k 180°＋45°＜α2＜k 180°＋90°(k∈Z)， 当k＝2n(n∈Z)时，n 360°＋45°＜α2＜n 360°＋90°， 当k＝2n＋1(n∈Z)时，n 360°＋225°＜α2＜n 360°＋270°. 所以α2是第一或第三象限角 . 【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限. 如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三 象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了. 【变式训练1】若角2α的终边在x轴上方，那么角α是( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 【解析】由题意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z， 得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z. 当k是奇数时，α是第三象限角. 当k是偶数时，α是第一象限角.故选C. 题型二 弧长公式，面积公式的应用 【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值. 【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， 因为α＝60°＝π3，R＝10 cm，所以l＝10π3 cm， S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2. (2)因为C＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α， S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22 αα2＋4α

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＋4＝C22 1α＋4α＋4≤C216， 当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216. 【点拨】用弧长公式l＝ |α| R与扇形面积公式S＝12lR＝12R2|α|时，α的单位必须是弧度. 【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C有最小值？并求出最小值. 【解析】因为S＝12Rl，所以Rl＝2S， 所以周长C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S， 当且仅当l＝2R时，C＝4S， 所以当α＝lR＝2时，周长C有最小值4S.

题型三 三角函数的定义，三角函数线的应用 【例3】(1)已知角α的终边与函数y＝2x的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤32的角x的集合. 【解析】(1)由 ?交点为(－55，－255)或(55，255 )， 所以sin α＝±255. (2)①找终边：在y轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x的终边，并写出对应的角. ②画区域：画出角x的终边所在位置的阴影部分. ③写集合：所求角x的集合是{x|2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}. 【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观. 【变式训练3】函数y＝lg sin x＋cos x－12的定义域为 . 【解析】 ?2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z. 所以函数的定义域为{x|2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}. 总结提高 1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小. 2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k?360°＋π3的错误书写. 3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.

5.2 同角三角函数的关系、诱导公式

典例精析 题型一 三角函数式的化简问题 【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限. 【变式训练1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－