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第一章 多项式

41、（清华２000—20分）试求7次多项式f(x)，使f(x)?1能被(X?1)整除,而f(x)?1能

被(X?1)4整除。

2、（南航2001—20分）

242

（1）设x?2px+2∣x+3x+px+q，求p,q之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x+1)h(x)+(x?1) f(x)+ (x?2) g(x)=0 （x+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0

证明：x+1∣f(x)，x+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：xd ?1∣xn?1的充分必要条件是d∣n（这里里记号d∣n表

示正整数d整除正整数n）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P上的多项式g1(x)，g2(x)，g3(x)，f(x),已知g1(x)∣f(x)，

g2(x)∣f(x)， g3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)两两互素，则一定有g1(x)，g2(x)，g3(x)∣f(x) （2）如果g1(x)，g2(x)， g3(x)互素，则一定有g1(x)g2(x)g3(x)∣f(x)

5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证

明P是素数当且仅当任取正整数a，b若p∣ab则p∣a或p∣b。

6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项

式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出

f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m，f(x)∣hm(x)。

7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。

若存在数?使得f(?)=g(?)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x7+2x6 ?6x5?8 x4 +19x3+9x2?22x+8，g(x)=x2+x?2，

将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=Ck(x)g(x)k+ Ck-1(x)g(x)k-1+ ? + C1(x)g(x)+C0(x)

其中次（Ci(x)）<次（g(x)）或Ci(x)=0，i=0,1, ?,k。（15分 ）

（2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f1(x)≠0，f2(x)，g1(x)，g2(x)是多项式，且g1(x)g2(x)∣f1(x) f2(x)，证明：若f1(x)∣g1(x), 则g2(x)∣f2(x)。

2

2

22

1

112?x3212x?1 4x?13310、（上海交大2005—15分）假设f(x)= 2?x2x?123x?1（1）证明：存在实数c(0

11、（大连理工2005—10分）设f(x) ，g(x)是数域P上的多项式，证明：在数域P中，若

f(x)∣g(x),则f(x)∣g(x)。

12、（北航2001—10分）求一个次数最低的多项式，使其被x+1除余x+1，被x+x+1除余

x2?1。 13、（北航2003—10分）设h(x) ，f(x) ，g(x)均为域F上的一元多项式，若h(x)∣f(x)，而

h(x)不整除g(x)，证明h(x)不整除f(x) +g(x)。

14、（南航2003—20分）求满足以下条件的三次多项式f(x)：

（1）x?3整除f(x)；

（2）x+3除f(x)的余数是4；

（3）x+2除f(x)的余数等于x?2除f(x)的余数。 15、（北京科大2004—15分）求一个三次多项式f(x)，使得f(x)+1能被(x?1)2整除，而f(x)?1

2

能被(x+1)整除.

16、（南航2003—20分）设A∈C

多项式。证明：

n×n

2

3

2

3

3

, f(x)，g(x)∈C[x]，f(x)的次数大于0，g(x)是A的最小

(1)若d(x)是f(x)，g(x)的最大公因式，则rank(d(A))=rank(A); (2) f(A)可逆的充分必要条件是f(x)，g(x)互质（或互素）。

17、（南航2005—35分）本题中等都是多项式。 （1）设a≠b，用（x?a），（x?b）除f(x)的余数分别为r1和r2 ，求用（x?a）（x?b）除f(x)的余式。(10分)

(2)证明：若(f(x)，g(x))=d(x)，f(x)∣h(x)，g(x)∣h(x)则f(x)g(x)∣d(x)h(x)。(10分)) （3）设f(x)= f1(x) f2(x)，次（f1(x)）>0，次（f2(x)）>0，且(f1(x) f2(x))=1。 证明：若次（g(x)）<次(f(x))，且f2(x)不整除g(x)，则存在u(x)和v(x)，使得

u(x) f1(x)+v(x) f2(x)= g(x)

成立，且满足次(u(x))<次(f2(x))，次(v(x))<次(f1(x))。(15分)

18、（北京科大2005—10分）求出所有的多项式f(x)，使得（x?1)f(x+1) ?（x+2)f(x)≡0。

19、（北交大2002—12分）多项式f(x)=x5+3x4+x3+x2+3x+1 g(x)=x4+2x3+x+2

求(f(x)，g(x))和u(x)，v(x)，使u(x) f(x)+v(x)g(x)=(f(x)，g(x))

2

20、（南航2002—20分）设f(x)=x?4x+5x?2x?2 ，g(x)=x?x+2x?2 (1)已知1? i是f(x)的根，求f(x)的其余三个根 .(6分)

（2）求u(x)，v(x)使u(x) f(x)+v(x)g(x) =(f(x)，g(x)) 。(14分)

21、（上海交大2002—12分）设f1(x)=a f(x)+b g(x)，g1(x)=c f(x)+d g(x)且证明(f(x)，g(x))= (f1(x)，g1(x))。 22、（北理工2003—15分）设多项式h(x) ，f(x) ，g(x)有 f(x5) +xg(x5)+x2h(x5)=(x4+x3 x2+x+1)k(x)

证明：x?1是h(x) ，f(x) ，g(x)的一个公因式。

23、（重大2004—10分）证明：如果d(x)︱f(x)，d(x)︱g(x)，且d(x)是f(x)与g(x)的一个组

合，那么d(x)是f(x)与gx)的一个最大公因式。 24、（北邮2004—18分）设多项式f(x) ≠0，h(x)为任意多项式，证明：若(f(x)，g(x))=1，

则(f(x)，g(x) h(x))= (f(x)，h(x))，问反之是否成立？

25、（北理工2004—15分）给定不全为零的多项式f1(x)，f2(x)，f3(x)，证明：存在六个多项

式g1(x)，g2(x)，g3(x)，h1(x)，h2(x)，h3(x)使

f1(x)g1(x)h1(x)f2(x)g2(x)h2(x)f3(x)g3(x)=（f1(x)，f2(x)，f3(x)） h3(x)acbd4

32

32

≠0。

这里（f1(x)，f2(x)，f3(x)）表示f1(x)，f2(x)，f3(x)表示的首项系数为1的最大公因式。 26、（北邮2005—18分）试问k为何值时，整系数多项式f(x)=x2+(k+6)x+4k+2和g(x)=

x2+(k+2)x+2k的最大公因式是一次的？并求出这时的最大公因式(f(x)，g(x))。 27、（北航2002—10分）证明当且仅当(f(x)，g(x))=1，(f(x)，h(x))=1时有(f(x)，g(x) h(x))=1。 28、（西安交大2004—12分）证明：数域P上的一元多项式f(x)与g(x)互质（即互素）的充

要条件是存在P上的多项式u(x) ，v(x)，使得：u(x) f(x)+v(x)g(x)=1。

29、（北京化工大2002—20分）设A是n级矩阵，mA(x)是A的最小多项式，f(x)是多项式且其次数?(f(x))≥1。

证明：（1）若f(x)︱mA(x)，则f(A)是退化矩阵，即︱f(A)︱=0；

（2）若d(x)=（f(x)，mA(x)），即两多项式的首项系数为1的最大公因式，则它们的秩相等：r(f(A)= r(d(A))；

3

（3）f(A)是非退化矩阵的充要条件是（f(x)，mA(x)）=1。

30、（北大2002—12分）对于任意非负整数n，令fn(x)?xn?2?(x?1)2n?1，

证明(x2?x?1,fn(x))?1

31、（北理工2005—15分）设A为数域F上的n阶矩阵，f(x)，g(x)∈F[x]，证明：如果d(x)

是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么齐次线性方程组d(A)?=0的解空间等于f(A)?=0的解空间与g(A)?=0的解空间的交集。

32、（北交大2005—15分）设A为n阶方阵，g(x)是A的最小多项式，f(x)是次数大于零的

任一多项式，证明方阵f(A)可逆的充分必要条件是f(x)与g(x)互素。 33、（东南2005—10分）设F一数域，多项式f(x)，g(x) ∈F[x]具有性质：当h(x)∈F[x]

且f(x)︱h(x)，g(x)︱h(x)时，必有f(x)g(x)︱h(x) 。证明：（f(x)，g(x)）=1

34、（重大2005—10分）设A为方阵，g(?)

证明：f(A)可逆?(f(?)，g(?))=1

35、（南开2000—15分）设f(x)是数域P上的多项式，这里n≥1；且设f(x)的一阶微商可以

整除f(x)。证明f(x)=a(x?b)n，a,b∈P，a≠0。

36、（南开2001—10分）设f(x)是复数域上首项系数为1的n阶多项式，如

f(x)(f?(x),f(x))

=(x?b1) (x?b2)，b1≠b2

且x?b1是f?(x)的k重因式（这里f?(x)是f(x)的一阶微商），问f(x)=？为什么？

37、（清华1998—16分）试求多项式f=x+px+q的判别式D(f)(即用f的系数表出D(f)。

判别式定义为D(f)=(x1?x2)(x1?x3)(x2?x3)；x1 ，x2 ，x3为f的复根，p,q为实数)

38、（北航2001—10分）用线性代数方法证明：若一个n次多项式P(x)在n+1个互不相等

的数x1，x2 ，? ，xn?1处取值为0，则P(x)≡0

4

2

2

2

3

39、（北大2000—10分）设f(x)和p(x)都是首项系数为1的整系数多项式，且p(x)在有理数Q上不可约，如果f(x)与p(x)有公共根，证明: (1)在Q[x]中，p(x)整除f(x)；

(2)存在首项系数为1的整系数多项式g(x)，使得f(x)= g(x) p(x)

40、（北航2000—10分）设p(x)是一个整系数多项式，又知p(0)及p(1)都是奇数，证明p(x)=0

没有整数根。 41、（浙大2003—10分）设f(x)是一个整系数多项式。证明存在一个偶数a及一个奇数b，

使得f(a)与f(b)都是奇数，则f(x)没有整数根。

n

42、（北交大2003—15分）设f(x)复数域上次数大于0的多项式，且f(x)︱f(x)，n是大于1

的整数。证明：f(x)的根只能是零或单位根。

43、（大连理工2004—24分）设R,Q分别表示实数域，有理数域，f(x)，g(x)∈Q[x].

(1)证明：如果在R[x]中有g(x)︱f(x)，则在Q[x]中，也有g(x)︱f(x)。

(2)证明：f(x)与g(x)在Q[x]中互素当且仅当f(x)，g(x)在R[x]中互素。 (3)证明：设f(x)是Q[x]中不可约多项式，则f(x)的根都是单根。

44、（重大2005—15分）设f(x)=x+6x+3px+8，试确定P的值使f(x)有重根并求其根。 45、（清华2001—20分）（1）叙述并证明关于整数系数多项式不可约性的“艾森斯坦

（Eisenstein）判别法”。

（2）此判别法有哪些推广？尽量多地叙述之。

nn?146、（北航2004—20分）设f(x)= anx?an?1x???a0是一个整系数多项式，如果存在

32

一个素数P，使得 （1）p不能整除an

(2)p︱an?1，an?2，? ，a0 （3）p不能整除a0

则此多项式在有理数域上是不约的。

47、（北京化工大2004—10分）设a1,a2?,an是两两互异的整数。

n2

证明：f(x)?1??(x?a)2在Q[x]中不可约，这里Q表示有理数域。

i?1

5