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高三数学第一轮复习讲义（小结） 2005.1.14

一．课前预习： 导 数

f(x0?2?x)?f(x0)?1，1．设函数f(x)在x?x0处有导数，且lim则f?(x0)?（ C ）

?x?0?x1 (C) 2 (D) (A)1 (B)0

22．设f?(x)是函数f(x)的导函数，y?f?(x)的图象如下图（1）所示，则y?f(x)的图象最有可能的是 （ D ）

y y y y y O 1 2 x O 1 2 x O 1 2 x 1 2 x O 1 2 x (A) (B) (C) (D) 3．若曲线y?x3?px?q与x轴相切，则p,q之间的关系满足 （ A ）

pqpq (D)2q?3p2?0 (A)()2?()2?0 (B)()2?()3?0 (C)2p?3q2?032231111324．已知函数f(x)?ax?x的最大值不大于，又当x?[,]时，f(x)?，则a? 1 ．

6428245．若对任意x?R,f?(x)?4x3,f(1)??1，则f(x)?x?2．

（1） 四．例题分析：

1312x?ax?(a?1)x?1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,??)上32为增函数，试求实数a的取值范围．

2解：f?(x)?x?ax?a?1?(x?1)[x?(a?1)]， 令f?(x)?0得x?1或x?a?1，

∴当x?(1,4)时，f?(x)?0，当x?(6,??)时，f?(x)?0， ∴4?a?1?6，∴5?a?7．

例1．若函数f(x)?

3例2．已知函数f(x)?ax?cx?d(a?0)是R上的奇函数，当x?1时f(x)取得极值?2， （1）求f(x)的单调区间和极大值；

（2）证明对任意x1,x2?(?1,1)，不等式|f(x1)?f(x2)|?4恒成立． 解：（1）由奇函数的定义，应有f(?x)??f(x)，x?R，

3332即?ax?cx?d??ax?cx?d，∴ d?0，∴f(x)?ax?cx，∴f?(x)?3ax?c，

?a?c??2?由条件f(1)??2为f(x)的极值，必有f(1)?0，故?，

3a?c?0?32解得a?1，c??3，∴f(x)?x?3x，f?(x)?3x?3?3(x?1)(x?1)， ∴f?(?1)?f?(1)?0，

当x?(??,?1)时，f?(x)?0，故f(x)在单调区间(??,?1)上是增函数； 当x?(?1,1)时，f?(x)?0，故f(x)在单调区间(?1,1)上是减函数； 当x?(1,??)时，f?(x)?0，故f(x)在单调区间(1,??)上是增函数， 所以，f(x)在x??1处取得极大值，极大值为f(?1)?2．

（2）由（1）知，f(x)?x3?3x(x?[?1,1])是减函数，

且f(x)在[?1,1]上的最大值M?f(?1)?2，最小值m?f(1)??2，

所以，对任意的x1，x2?(?1,1)，恒有f(x1)?f(x2)?M?m?2?(?2)?4．

a3b?12x?x?x?5(a,b?R,a?0)的定义域为R，当x?x1时，取32得极大值；当x?x2时取得极小值，|x1|?2且|x1?x2|?4． （1）求证：x1x2?0；（2）求证：(b?1)2?16a2?4a；（3）求实数b的取值范围． （1）证明：f?(x)?ax2?(b?1)x?1，

1由题意，f?(x)?ax2?(b?1)x?1?0的两根为x1,x2，∴x1x2??0．

a例3．设函数f(x)?(b?1)2?4a（2）|x1?x2|??4，∴(b?1)2?16a2?4a．

a?1?b?0（3）①若0?x1?2，则?，

?f(2)?4a?2b?1?0?∴4a?1?2(1?b)，从而(4a?1)2?4(1?b)2?4(16a2?4a)，

11或a??（舍） 12441∴2(1?b)?，得b?．

33?1?b?0②若?2?x1?0，则?，

?f?(?2)?4a?2b?3?0解得a?∴4a?1?2(b?1)，从而(4a?1)2?4(1?b)2?4(16a2?4a)，

11或a??（舍） 12445∴2(b?1)?，∴b?，

33解得a?综上可得，b的取值范围是(??,)?(,??)．

小结：本题主要考查导数、函数、不等式等基础知识，综合分析问题和解决问题的能力．

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五．课后作业： 班级 学号 姓名 1．函数y?2x3?3x2?12x?5在[0,3]上的最大值与最小值分别是 （ ） (A)5、?15 (B)5、4 (C)?4、?15 (D)5、?16

2．关于函数f(x)?2x3?6x2?7，下列说法不正确的是 （ ） (A)在区间(??,0)内，f(x)为增函数 (B)在区间(0,2)内，f(x)为减函数

(C)在区间(2,??)内，f(x)为增函数 (D)在区间(??,0)?(2,??)内，f(x)为增函数

f(x0?3?x)?f(x0)?1，则f?(x0)等于 （ ） 3．设f(x)在x?x0处可导，且lim?x?0?x11(A)1 (B)? (C)?3 (D)

334．设对于任意的x，都有f(?x)??f(x),f?(?x0)??k?0，则f?(x0)? （ ）

11(A)k (B)?k (C) (D)?

kk1225．一物体运动方程是s?200?gt(g?9.8m/s)，则t?3时物体的瞬时速度为 ．

3326．已知函数f(x)?ax?bx?3x在x??1处取得极值． （1）讨论f(1)和f(?1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （2）过点A(0,16)作曲线y?f(x)的切线，求此切线方程．