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2019-2020年高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式
(组)与简单的线性规划问题文
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋
By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
2．线性规划相关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域 最优解 线性规划问题 3.重要结论 (1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： ①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；
②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．
(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有
①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； ②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． (3)最优解和可行解的关系：
最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多
意义 由变量x，y组成的一次不等式 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 欲求最大值或最小值的函数 关于x，y的一次解析式 满足线性约束条件的解 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 个． 【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × ) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( √ )
(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( × )
(4)不等式x－y<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．( √ )
2
2
1．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
??x＋y－1≥0，答案 ?
??x－2y＋2≥0
解析 两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0. 由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0， 又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，
??x＋y－1≥0，即???x－2y＋2≥0
为所表示的可行域．
??x－3y＋6<0，2．(教材改编)不等式组?
?x－y＋2≥0?
表示的平面区域是________．
答案 ③
解析 用特殊点代入，比如(0,0)，容易判断为③.
x－y≥－1，??
3．若实数x，y满足不等式组?x＋y≥1，
??3x－y≤3，
则该约束条件所围成的平面区域的面积是
________． 答案 2
解析 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直， 所以如图所示的可行域为直角三角形，
易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故AB＝2，AC＝22， 1
其面积为×AB×AC＝2.
2
x－y≤0，??
4．(2015·北京改编)若x，y满足?x＋y≤1，
??x≥0，
答案 2
则z＝x＋2y的最大值为________．
11
解析 可行域如图所示．目标函数化为y＝－x＋z，
2211
当直线y＝－x＋z过点A(0,1)时，z取得最大值2.
22
5．(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为__________________(用x，
y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)．
200x＋300y≤1 400，
??200x＋100y≤900，答案 ?x≥0，
??y≥0解析 用表格列出各数据
A x 200x 200x B y 300y 100y 总数 1 400 900 产品吨数 资金 场地 所以不难看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1 400,200x＋100y≤900.